Irreduzibler topologischer Raum

topologischer Raum

Der Begriff des irreduziblen topologischen Raumes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

DefinitionBearbeiten

Ein nichtleerer topologischer Raum   heißt irreduzibel, wenn eine und damit alle der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

  •   ist nicht die Vereinigung zweier abgeschlossener echter Teilmengen.
  • Je zwei nichtleere offene Teilmengen von   schneiden sich.
  • Jede nichtleere offene Teilmenge von   ist dicht in  .
  • Jede offene Teilmenge von   ist zusammenhängend.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt irreduzibel, wenn sie mit der induzierten Topologie ein irreduzibler Raum ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Irreduzible Räume sind zusammenhängend.
  • Offene Teilmengen irreduzibler Räume sind irreduzibel.
  • Eine Teilmenge   eines topologischen Raumes   ist genau dann irreduzibel, wenn ihr Abschluss   in   irreduzibel ist.
  • Ist   ein irreduzibler Raum und   eine stetige Abbildung, so ist   und somit auch   irreduzibel.
  • Ist   ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes  , so ist der Abschluss   der Teilmenge   in   irreduzibel, und   ist ein generischer Punkt von  .
  • In einem Hausdorffraum besteht jede irreduzible Teilmenge aus einem einzelnen Punkt.

Irreduzible KomponentenBearbeiten

Die Menge der irreduziblen Teilmengen eines topologischen Raums ist induktiv geordnet, das heißt die Vereinigung einer aufsteigenden Kette irreduzibler Teilmengen ist wieder irreduzibel. Mit Hilfe des Zornschen Lemmas folgt dann, dass jede irreduzible Menge in einer maximalen irreduziblen Menge enthalten ist; solche maximalen irreduziblen Mengen nennt man auch irreduzible Komponenten. Da Abschlüsse irreduzibler Mengen wieder irreduzibel sind, müssen irreduzible Komponenten wegen ihrer Maximalität abgeschlossen sein.

Jeder topologische Raum ist die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten, denn jeder Punkt   liegt in der irreduziblen Menge  , und diese nach obigem in einer irreduziblen Komponente.

In einem noetherschen Raum ist die Anzahl der irreduziblen Komponenten endlich. Dies ist von Bedeutung für die Algebraische Geometrie, da affine Varietäten noethersche Räume sind.

Verwandte BegriffeBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt nüchtern, wenn jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt besitzt. Erfüllt der Raum   zusätzlich das Trennungsaxiom T0, so definiert

 

eine Bijektion zwischen Punkten von   und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von  .

LiteraturBearbeiten