Noetherscher Raum

Der noethersche topologische Raum, benannt nach Emmy Noether, ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der Topologie. Er ist durch den algebraischen Begriff des noetherschen Rings motiviert und findet hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

DefinitionBearbeiten

Betrachtet man offene Mengen eines topologischen Raums in Analogie zu den Idealen eines Ringes, so ist folgende Definition mit Blick auf den Begriff des noetherschen Ringes naheliegend:

  • Ein topologischer Raum heißt noethersch, wenn jede aufsteigende Kette offener Mengen stationär wird, das heißt: Ist   eine Familie offener Mengen, so gibt es ein   mit   für alle  .

Wie in der Algebra zeigt ein einfaches Argument:

  • Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn eine Maximalbedingung für offene Mengen gilt, das heißt: Jede nicht-leere Familie offener Mengen enthält ein maximales Element.

Da die abgeschlossenen Mengen genau die Komplemente offener Mengen sind, hat man:[1]

  • Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Mengen stationär wird, das heißt: Ist   eine Familie abgeschlossener Mengen, so gibt es ein   mit   für alle  .
  • Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn eine Minimalbedingung für abgeschlossene Mengen gilt, das heißt: Jede nicht-leere Familie abgeschlossener Mengen enthält ein minimales Element.

BeispieleBearbeiten

  • Räume mit endlichen Topologien, insbesondere also topologische Räume mit endlicher Grundmenge sind noethersch.
  • Der affine Raum   über einem Körper   ist mit der Zariski-Topologie ein noetherscher Raum.
  •   mit der euklidischen Topologie ist nicht noethersch, denn die offenen Intervalle   bilden eine aufsteigende Folge offener Mengen, die nicht stationär wird.
  • Es gibt auch nicht noethersche Ringe, deren Spektrum ein noetherscher Raum ist: Ist   ein Körper, so ist der Ring   nicht noethersch. Sein Nilradikal wird von den Unbestimmten erzeugt, also ist die Reduktion von   gleich   und folglich   ein Raum mit einem Punkt, insbesondere noethersch.

BedeutungBearbeiten

Auf dem Spektrum eines Ringes betrachtet man üblicherweise die Zariski-Topologie. Leicht zeigt man, dass das Spektrum eines noetherschen kommutativen Ringes ein noetherscher topologischer Raum ist. Da affine Varietäten den Radikalidealen im Ring der Polynome in endlich vielen Variablen über dem Koordinatenkörper entsprechen (Hilbertscher Nullstellensatz), und dieser Ring noethersch ist (Hilbertscher Basissatz), erhält man, dass affine Varietäten mit der Zariski-Topologie noethersch sind. Daher spielt dieser Begriff eine Rolle in der algebraischen Geometrie, in der solche Varietäten untersucht werden.

AnwendungBearbeiten

Insbesondere besteht eine affine Varietät aus endlich vielen irreduziblen Komponenten.

Da der einfache Beweis die typische noethersche Schlussweise verdeutlicht, soll er hier kurz wiedergegeben werden: Sei   die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen, die nicht endliche Vereinigung irreduzibler Mengen sind. Wird angenommen, dass diese Menge nicht leer ist, so enthält sie wegen der Minimalbedingung für abgeschlossene Mengen ein minimales Element  . Dieses kann als Element aus   nicht irreduzibel sein, ist also Vereinigung zweier echter abgeschlossener Mengen   und  . Da   minimal ist, sind   und   nicht aus   und daher endliche Vereinigung irreduzibler Mengen. Dann ist aber auch   endliche Vereinigung irreduzibler Mengen, was ein Widerspruch zu   ist. Daher ist   leer, insbesondere ist der Raum selbst endliche Vereinigung irreduzibler Mengen, was zu zeigen war.

KompaktheitBearbeiten

Definiert man Kompaktheit durch die Überdeckungseigenschaft und verzichtet auf die Hausdorffeigenschaft, manche Autoren sprechen dann auch von quasi-kompakten Räumen, so gilt:[3]

  • Jeder noethersche Raum ist quasi-kompakt.
  • Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede Teilmenge mit der Relativtopologie quasi-kompakt ist.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Jeder Unterraum eines noetherschen Raums ist wieder noethersch.[4]
  • Ist der topologische Raum   Vereinigung der Unterräume   und ist jedes   noethersch, so ist auch   noethersch.[5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition I.2.13
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz I.2.14
  3. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 2: Noetherian Spaces
  4. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Satz (2.2) (ii)
  5. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Satz (2.2) (iii)