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Dichte Teilmenge

bestimmte Teilmenge eines Raumes in einer bestimmten Umgebung

Im mathematischen Fachgebiet Topologie ist eine dichte Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes eine Teilmenge dieses Raumes mit besonderen Eigenschaften. Der Begriff dichte Teilmenge wird in seiner allgemeinen Form in der Topologie definiert. Er wird auch in vielen anderen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der Analysis, der Funktionalanalysis und der Numerik angewandt, zum Beispiel bei der Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome.

Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen . Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche beziehungsweise durch endliche Dezimalzahlen approximieren kann. Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge , sie liege dicht in einem topologischen Raum , wenn jede Umgebung eines beliebigen Punktes aus immer auch ein Element aus enthält.

Inhaltsverzeichnis

Definition in metrischen RäumenBearbeiten

Gegeben sei ein metrischer Raum   (wie beispielsweise ein normierter Raum   mit der Metrik  ).

Dann heißt eine Menge   dicht in  , wenn eine der folgenden äquivalenten Aussagen zutrifft:

  • Zu jedem   und jedem   existiert ein Punkt  , so dass   ist.
  • Zu jedem   und jedem   existiert ein Punkt  , so dass   ist. Dabei bezeichnet   die offene Kugel um   mit Radius  .
  • Zu jedem   existiert eine Folge   von Punkten aus  , so dass   ist.
  • Die abgeschlossene Hülle der Menge   ist der ganze Raum, also  .

Die obige Definition durch den Grenzwert einer Folge ist so nicht auf allgemeine topologische Räume übertragbar. Die Konvergenz von Folgen muss hierfür durch die Filterkonvergenz oder die Konvergenz von Netzen verallgemeinert werden.

BeispieleBearbeiten

  • Die Menge der rationalen Zahlen   liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen  .
  • Die Menge der irrationalen Zahlen liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen  .
  • Die Menge der Polynome liegt dicht in der Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten Intervall.
  • Die Menge der Testfunktionen liegt dicht in der Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen.
  • Sei   eine Teilmenge eines mittels   normierten Raums  . Bezeichnet man mit   die abgeschlossene Hülle dieser Menge bezüglich der Norm  , so liegt   dicht in  .
  • Die Menge der natürlichen Zahlen   liegt nicht dicht in der Menge der rationalen Zahlen  , sie ist sogar nirgends dicht in  .
  • Die Cantor-Menge ist eine überabzählbare, abgeschlossene und nirgends dichte Teilmenge der reellen Zahlen.
  • Das Intervall   liegt nicht dicht in den reellen Zahlen, ist aber auch nicht nirgends dicht, denn es liegt dicht in  , was eine Umgebung der Null ist.
  • Der Raum   der auf   glatten Funktionen mit kompaktem Träger liegt dicht im Raum   der quadratintegrierbaren Funktionen.

Definition in topologischen RäumenBearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum  . Dann ist eine Menge   genau dann dicht (in  ), wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Der Abschluss von   entspricht der Obermenge, es gilt also  .
  • Die Menge   schneidet jede nichtleere offene Menge, es ist also   für alle  .
  • Jede Umgebung in   enthält einen Punkt aus  .

Eine Menge   heißt dicht in  , wenn sie dicht bezüglich der Teilraumtopologie   ist. Teils werden dann die in der Obermenge   dichten Mengen auch überall dicht genannt.[1]

EigenschaftenBearbeiten

  • Inklusion: Ist   dicht in   und  , so liegt auch   dicht in  .
  • Transitivität: Ist   dicht in   und   dicht in  , so liegt   schon dicht in  .
  • Erhaltung unter stetigen Abbildungen: Ist   dicht in   und   eine stetige Abbildung, so liegt   dicht in  .

In der letzten Eigenschaft wird   mit der Unterraumtopologie von   versehen; der Begriff der dichten Teilmenge ist dann bezüglich dieser Unterraumtopologie zu verstehen.

Geordnete MengenBearbeiten

Ein Spezialfall des topologischen Begriffes dicht ergibt sich durch die Anwendung auf geordnete Mengen. Eine Teilmenge   einer streng totalgeordneten Menge   heißt dicht (in  ), wenn es zu allen   und   aus   mit   ein   aus   gibt, so dass  . Dieser Spezialfall ergibt sich durch die Ordnungstopologie auf   und wird dort näher erläutert.

Weiterführende BegriffeBearbeiten

Nirgends dichte MengenBearbeiten

Eine nirgends dichte Menge ist eine Teilmenge   eines topologischen Raumes, bei der das Innere ihres Abschlusses leer ist. Es gilt also

 .

Entgegen ihrem Namen sind nirgends dichte Mengen nicht das Gegenteil oder Komplement von dichten bzw. überall dichten Mengen. Genauer ist eine Menge genau dann nirgends dicht, wenn sie in keiner (nichtleeren) offenen Menge dicht ist. Somit sind dichte Mengen nie nirgends dicht, da sie immer in der offenen Menge   dicht sind. Umgekehrt gibt es aber sowohl nicht dichte Mengen, die nirgends dicht sind (wie die ganzen Zahlen   in  ) als auch nicht dichte Mengen, die nicht nirgends dicht sind (wie das Intervall   in  .)

Separable und polnische RäumeBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt ein separabler Raum, wenn er eine abzählbare, dichte Menge enthält. Dies erleichtert häufig die Beweisführung, somit sind separable Räume "leichter" zu handhaben. Noch stärker ist der Begriff des polnischen Raumes, dies ist ein topologischer Raum, der eine abzählbare dichte Teilmenge enthält und vollständig metrisierbar ist.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M.I. Voitsekhovskii: Dense set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).