Filterkonvergenz

Die Filterkonvergenz ist ein Konvergenzbegriff in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie wird über Mengenfilter formalisiert und ist neben der Konvergenz von Netzen eine Möglichkeit, die Konvergenz von Folgen in topologischen Räumen zu verallgemeinern.

Die Notwendigkeit, die Konvergenz von Folgen zu verallgemeinern resultiert daraus, dass die Verwendung von Folgen in topologischen Räumen zur Charakterisierung von topologischen Eigenschaften nicht ausreicht. So lassen sich beispielsweise Funktionen konstruieren, welche der topologischen Charakterisierung von Stetigkeit (Urbilder offener Mengen sind wieder offen) nicht genügen, für die aber die klassische Charakterisierung in metrischen Räumen gilt (konvergiert die Folge gegen , so konvergiert gegen ).[1] Die Filterkonvergenz verallgemeinert die Folgenkonvergenz, so dass topologische Eigenschaften auch in topologischen Räumen über Konvergenz und die aus ihr abgeleiteten Begriffe charakterisiert werden können.

Rahmenbedingungen und ProblemeBearbeiten

Ist ein metrischer Raum   gegeben, so heißt eine Folge   konvergent gegen   wenn gilt:

für jedes   existiert ein  , so dass   für alle  .

Dies formalisiert die intuitive Vorstellung, dass eine konvergente Folge beliebig nahe an ihren Grenzwert heranreicht: für jeden vorgegebenen Abstand   sind irgendwann alle Folgenglieder näher am Grenzwert als dieser Abstand.

Jeder metrische Raum ist auch immer ein topologischer Raum  . Die offenen Mengen der Topologie   sind dann genau die Vereinigungen von (beliebig vielen) offenen Kugeln   mit variablem Radius  . Damit sind topologische Begriffe wie Abgeschlossenheit, Stetigkeit und Kompaktheit in metrischen Räumen wohldefiniert und lassen sich auf zweierlei äquivalente Arten beschreiben. Die erste wird in diesem Artikel die topologische Charakterisierung genannt, die andere die Charakterisierung durch Folgen. Betrachtet man als Beispiel die Abgeschlossenheit, so gilt:

  • topologische Charakterisierung:   ist abgeschlossen   das Komplement von   liegt in  .
  • Charakterisierung durch Folgen:   ist abgeschlossen   Der Grenzwert jeder konvergenten Folge aus   liegt wieder in  .

Die Definition der Konvergenz von Folgen kann problemlos auf beliebige topologische Räume übertragen werden. Dazu wird der Abstand   vom Grenzwert als  -Umgebung des Grenzwertes aufgefasst und dann im Rahmen der Übertragung auf beliebige Umgebungen des Grenzwertes erweitert. Eine Folge   in einem topologischen Raum heißt dann konvergent gegen  , wenn gilt:

für jede Umgebung   von   existiert ein  , so dass   für alle  .

In topologischen Räumen stimmen die topologische Charakterisierung und die Charakterisierung durch Folgen von topologischen Eigenschaften im Allgemeinen nicht überein. So existieren Fälle von Punkten, die im Abschluss einer Menge liegen aber durch keine Folge in der Menge erreicht werden[2] ebenso wie Berührungspunkte, gegen die keine Folge konvergiert.[3] Aus diesem Grund unterscheidet man in topologischen Räumen die beiden Arten der Charakterisierung. Die Charakterisierung durch Folgen erhält dabei das Präfix "folgen- " (folgenabgeschlossen, folgenkompakt etc.), während die Namen der topologischen Charakterisierung meist unverändert bleiben (mit der Ausnahme der Überdeckungskompaktheit).

Damit sind Folgen einerseits für die Untersuchung von topologischen Strukturen nur bedingt geeignet, andererseits sind sie auch ein beliebtes und intuitiv zugängliches Hilfsmittel für viele Beweise. Die Filterkonvergenz verallgemeinert nun den Begriff der Folgekonvergenz, so dass die oben beschriebene Äquivalenz von Charakterisierung durch Folgen (und später Filtern) und topologischer Charakterisierung wie in metrischen Räumen auch in beliebigen topologischen Räumen gilt. Die Folgenkonvergenz erweist sich damit als Spezialfall der Filterkonvergenz.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum  . Sei   ein Mengenfilter in   und sei   der Umgebungsfilter von  , also die Menge aller Umgebungen von  

Der Filter   heißt konvergent gegen  , wenn   ist. Man schreibt dann   und nennt   einen Limespunkt von  .

Gilt für alle   und alle  , dass   ist, so heißt   ein Berührpunkt. Somit ist die Menge aller Berührpunkte   gegeben als

 .

Hierbei bezeichnet   den Abschluss der Menge  .

Beispiel: Übergang zur FolgenkonvergenzBearbeiten

Die Folgenkonvergenz ist ein Spezialfall der Filterkonvergenz. Ist eine Folge   gegeben, so definiert man

 ,

die Folge ohne die ersten   Folgenglieder. Wählt man alle diese   als Filterbasis, so erhält man den zur Folge gehörenden Filter

 .

Die Konvergenz der Folge gegen   ist nun nach dem Abschnitt "Rahmenbedingungen und Probleme" äquivalent zu

für jede Umgebung   von   existiert ein  , so dass  ,

da   per Definition alle Folgenglieder mit Index größer als   enthält. Daraus folgt aber direkt, dass  , da   ist. Somit ist dann  .

Konvergiert also eine Folge gegen  , so konvergiert auch der zur Folge gehörende Filter gegen  . Limespunkt des Filters und Grenzwert der Folge stimmen dann überein. Analog zeigt man, dass die Berührpunkte des Filters genau die Häufungspunkte der Folge sind.

FolgerungenBearbeiten

Über die Filterkonvergenz lassen sich dann direkt folgende Aussagen zeigen:

  • Ein   ist genau dann im Abschluss der Menge   enthalten, wenn ein Filter existiert, der die Menge   enthält und gegen   konvergiert.
  • Eine Abbildung   ist genau dann stetig in  , wenn für jeden Filter  , der gegen   konvergiert, der Bildfilter   gegen   konvergiert. Der Bildfilter ist dabei als der Filter im Bildraum definiert, der die Filterbasis   besitzt.

Die Aussagen der Folgenkonvergenz, wie sie in metrischen Räumen gelten, übertragen sich also beinahe wörtlich auf die Filterkonvergenz und gelten dann auch in topologischen Räumen.

Mit der Filterkonvergenz lassen sich noch weitere Eigenschaften charakterisieren: So ist ein topologischer Raum genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn jeder konvergente Filter genau einen Limespunkt besitzt, oder ein topologischer Raum genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter konvergiert.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2011, S. 74.
  2. Werner: Funktionalanalysis. 2011, S. 405.
  3. von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2011, S. 74.