Separabler Raum

Raum mit dichter höchstens abzählbarer Teilmenge

Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie und verwandten Gebieten eine häufig benutzte Abzählbarkeitseigenschaft von topologischen Räumen. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der Funktionalanalysis. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen gibt.

DefinitionBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable RäumeBearbeiten

  • Besitzt ein topologischer Raum eine (höchstens) abzählbare Basis, so ist er separabel. (Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.)[1]
  • Für einen metrischen Raum   gilt sogar:[2]
    • Dafür, dass   eine abzählbare Basis besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass   separabel ist.
  • Ein total beschränkter metrischer Raum   ist stets separabel.[3]
  • Insbesondere ist jeder kompakte, metrisierbare Raum separabel. Genauer gilt:[4]
    • Ist   ein metrisierbarer topologischer Raum, so sind die drei Eigenschaften,
      • (1) eine abzählbare Basis zu besitzen,
      • (2) lindelöfsch zu sein,
      • (3) separabel zu sein,
    äquivalent.[5]
  • Ein topologischer Vektorraum ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt.
  • Ist   ein Hilbertraum von unendlicher Dimension, so sind stets die folgenden drei Bedingungen gleichwertig:[6][7]
    • (1)   ist separabel.
    • (2) Alle Orthonormalbasen von   sind abzählbar.
    • (3) In   gibt es eine abzählbare Orthonormalbasis.
  • Für eine unendliche und mit der Ordnungstopologie versehene linear geordnete Menge   sind die folgenden drei Bedingungen stets gleichwertig:[8]
    • (1)   ist separabel und zusammenhängend.
    • (2)   ist ordnungsisomorph zu einem Intervall von  .
    • (3)   ist homöomorph zu einem Intervall von  .
  • Ist ein metrischer Raum   zusammenhängend und lokal euklidisch, so ist er lindelöfsch und damit separabel.[9]

BeispieleBearbeiten

Beispiele für separable Räume sind etwa:

  • Die Räume   sind für   separabel, da   abzählbar ist und dicht in   liegt.[10]
  • Die Räume   mit einer beschränkten, offenen Teilmenge   und   sind separabel.
  • Die Folgenräume   für   sind separabel.[10]
  • Der Raum   der (reellen oder komplexen) Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm ein separabler Banachraum.[11]
  • Der Raum   der abbrechenden Folgen ( ) ist mit der  -Norm für   separabel.
  • Für offene Teilmengen   und natürliche Zahlen   sind die Räume   stets separabel.
  • Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.[12]
  • Die Niemytzki-Ebene (oder Moore-Ebene) ist ein separabler Raum, da die enthaltene abzählbare (!) Teilmenge der Punkte mit rationalen Koordinaten darin dicht liegt.[13][14]

GegenbeispieleBearbeiten

Es gibt einige bekannte Beispiele für nicht-separable Räume:

PermanenzeigenschaftenBearbeiten

  • Bilder von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel.[18]
  • Offene Unterräume separabler Räume sind stets ebenfalls separabel.[19]
  • Im Allgemeinen sind Unterräume separabler Räume nicht separabel. So enthält die erwähnte separable (!) Niemytzki-Ebene beispielsweise einen nicht-separablen Unterraum.[13]
  • Es gilt aber, dass Unterräume separabler metrischer Räume wieder separabel sind.[20]
  • Separabilitätssatz von Marczewski: Ist   eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von   höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums  , so ist   mit der Produkttopologie ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von   zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus   dicht liegt, wobei   die charakteristische Funktion des Intervalls   ist.

Zusammenhang mit anderen BegriffenBearbeiten

  • In der englischen Fachliteratur wird ein topologischer Raum   mit (höchstens) abzählbarer Basis von manchen Autoren als completely separable oder perfectly separable, also als vollständig separabel bzw. als vollkommen separabel bezeichnet.[21]
  • Lässt sich die Topologie eines separablen Raumes   durch eine vollständige Metrik erzeugen, so nennt man   einen polnischen Raum.[22]
  • Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des separierten Raums.[23]

Zur HistorieBearbeiten

  • Das Konzept des separablen Raumes geht zurück auf Maurice René Fréchet und seine Publikation Sur quelques points de calcul fonctionnel aus dem Jahre 1906.[24]
  • P. S. Alexandroff zufolge ist der Terminus separabel eine höchst unglückliche Bezeichnung ... , die sich bedauerlicherweise jedoch eingebürgert hat und allgemeine Verbreitung fand.[25]
  • Wie Horst Schubert im Jahre 1975 schrieb, bestanden ... Tendenzen, ihn [den Terminus separabel] abzuschaffen.[23][26]

LiteraturBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 34.
  2. P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie. 1984, S. 121.
  3. Joseph Muscat: Functional Analysis. 2014, S. 68.
  4. Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1. 2014, S. 8.
  5. Da Kompaktheit ein Spezialfall der Lindelöf-Eigenschaft ist, ergibt sich die zuvor genannte Aussage aus dieser Äquivalenz als Folgerung.
  6. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 1970, S. 261.
  7. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 235.
  8. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 129.
  9. Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology. 1998, S. 420.
  10. a b Heine, op. cit, S. 72.
  11. G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. 1970, S. 159.
  12. Camps/Kühling/Rosenberger, op. cit, S. 18.
  13. a b Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.,: Counterexamples in Topology. 1970, S. 7, S. 100–103.
  14. Heine, op. cit, S. 86.
  15. Heine, op. cit, S. 72.
  16. Jameson, op. cit, S. 158.
  17. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 114.
  18. Als dichte Teilmenge im Bild dient einfach das Bild der dichten Teilmenge im Definitionsbereich.
  19. Führer, op. cit, S. 128.
  20. Dies folgt aus der oben genannten Äquivalenz, denn letztere überträgt sich offensichtlich auf die metrischen Unterräume.
  21. Steen/Seebach, op. cit, S. 162.
  22. Gasiński/Papageorgiou, op. cit, S. 226.
  23. a b Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 58.
  24. Willard, op. cit, S. 303.
  25. Alexandroff, op. cit, S. 120–121.
  26. Was jedoch offenbar nicht geschah.