Hauptmenü öffnen
Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.

In der Mathematik ist eine stetige Abbildung oder stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich ziehen. Formalisieren kann man diese Eigenschaft mit der Vertauschbarkeit der Funktion mit Grenzwerten oder mit dem --Kriterium.

Anschaulich gesprochen ist eine reelle stetige Funktion dadurch gekennzeichnet, dass ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem innerhalb ihres Definitionsbereiches eine zusammenhängende Kurve ist, der Graph also keine Sprünge macht und man ihn ohne Absetzen des Stiftes zeichnen kann.

Die meisten der in der reellen Analysis vorkommenden Funktionen sind stetig, insbesondere ist das für alle differenzierbaren Funktionen der Fall.

Für stetige Funktionen können eine Reihe nützlicher Eigenschaften bewiesen werden. Exemplarisch seien der Zwischenwertsatz, der Satz vom Minimum und Maximum und der Fundamentalsatz der Analysis genannt.

Allgemeiner ist das Konzept der Stetigkeit von Abbildungen in der Mathematik vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung. Es ist möglich, Stetigkeit durch eine Bedingung zu charakterisieren, die nur Begriffe der Topologie benutzt. Somit kann der Begriff der Stetigkeit auch auf Funktionen zwischen topologischen Räumen ausgedehnt werden. Diese allgemeine Sichtweise erweist sich aus mathematischer Sicht als der „natürlichste“ Zugang zum Stetigkeitsbegriff: Stetige Funktionen sind diejenigen Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit deren Strukturen „verträglich“ sind. Stetige Funktionen spielen also in Topologie und Analysis eine ähnliche Rolle wie Homomorphismen in der Algebra.

Inhaltsverzeichnis

MotivationBearbeiten

Anschauliche HerleitungBearbeiten

 
Graphische Veranschaulichung der Funktion  

Die Funktion   „springt“ an der Stelle   vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Stellt die Funktion einen Zusammenhang aus der Natur oder der Technik dar, so erscheint ein solches Verhalten als unerwartet (Natura non facit saltus). Beschreibt die Funktion zum Beispiel den Zusammenhang zwischen der beim Radfahren aufgebrachten Energie und der erreichten Geschwindigkeit, so wäre es überraschend, wenn eine minimale Steigerung der aufgewandten Energie an einer Stelle sprunghaft zur Verdoppelung der Geschwindigkeit führte.

Auch in anderen Lebensbereichen erscheint eine solche Funktion seltsam. Stellt die Funktion zum Beispiel den Zusammenhang zwischen Arbeitszeit und Arbeitslohn dar, so ist es wiederum merkwürdig, dass an einer Stelle der Arbeitslohn verdoppelt wird, wenn die Arbeitszeit nur minimal steigt.

Der mathematische Begriff der Stetigkeit versucht die Funktionen exakt zu beschreiben, die ein solches 'willkürliches Verhalten' nicht haben. Die angegebene Funktion   ist also nicht stetig, wobei sich die Unstetigkeit auf den Punkt   einschränken lässt. Anderswo ist die Funktion überall stetig.

Das Konzept der Stetigkeit wurde zunächst für reelle und komplexe Funktionen entwickelt. Bei der Begründung des mathematischen Teilgebiets der Topologie zeigte sich aber, dass das Konzept sich natürlich auf dieses Gebiet erweitern lässt. Seitdem ist die Stetigkeit einer der Grundbegriffe der modernen Mathematik.

Beschränktheit der AnschauungBearbeiten

Die obige Erklärung veranschaulicht zwar den Begriff der Stetigkeit recht gut, man sollte sich aber darüber im Klaren sein, dass diese Anschauung diverse Grenzen hat. Es ist daher unerlässlich, sich in der mathematischen Praxis immer auf die exakten Definitionen zu beziehen, die im Folgenden eingeführt werden.

Tatsächlich weist auch die Funktion

 

an der Stelle   eine Verhaltensänderung auf. Die Funktion ist dort aber dennoch stetig. Die Verhaltensänderung kann man mathematisch erst fassen, wenn man die Ableitung von   untersucht.

Die Wurzelfunktion   ist auf   stetig. Wenn man sich der Stelle   nähert wird die Änderungsgeschwindigkeit aber immer größer. An der Stelle 0 ist sie praktisch unendlich.

Betrachtet man schließlich Funktionen wie die Weierstraß-Funktion, so handelt es sich um eine im mathematischen Sinn stetige Funktion, bei der aber an keiner Stelle eine 'Änderungsrichtung' festgestellt werden kann (genauer: an den Graphen kann nirgendwo eine Tangente angelegt werden).

Umgekehrt wäre es falsch, die oben definierte Funktion   als Prototyp einer unstetigen Funktion anzusehen. Einen solchen Prototyp erhält man eher dadurch, dass man sich vorstellt, der Wert der Funktion würde für jedes Argument unabhängig ausgewürfelt. Eine solche chaotische Funktion wäre überall unstetig. Es wäre aber auch unmöglich, sie graphisch darzustellen.

Kritisch hinterfragen kann man auch die Behauptung, dass natürliche Vorgänge stets durch stetige Funktionen modelliert werden können. Man betrachte etwa eine Billardkugel, die mit langsamer Geschwindigkeit auf eine Tasche zugespielt wird. Ist die Abstoßgeschwindigkeit zu gering, so bleibt die Kugel vor der Tasche liegen. Ab einer gewissen Abstoßgeschwindigkeit rollt die Kugel weit genug und fällt in die Tasche. Betrachtet man also die Anzahl der gefallenen Kugeln als Funktion der Abstoßgeschwindigkeit, so springt diese Funktion bei einem bestimmten Wert der Geschwindigkeit unstetig von 0 auf 1.

Dieser Überlegung kann man allerdings entgegenhalten, dass die physikalischen Bedingungen auf dem Billardtisch nie genau festgelegt sein können. In einem engen Bereich um die Grenzgeschwindigkeit hängt es von minimalen Umgebungsparametern (ein Windhauch mag ausreichen) ab, ob die Kugel fällt oder nicht. Daher ist es angemessen, den Vorgang dadurch zu modellieren, dass man jeder Abstoßgeschwindigkeit eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, mit der die Kugel fällt. Diese Wahrscheinlichkeit steigt dann in einem engen Intervall um die Grenzgeschwindigkeit zwar sehr schnell, aber doch stetig, von 0 nach 1.

Funktionen mit zählbaren Größen sind unstetig. Bei natürlichen Vorgängen wird vielfach ein wertekontinuierliches und zeitkontinuierliches Analogsignal zugrunde gelegt. Wird allerdings ein Vorgang durch ein Digitalsignal erfasst, ist eine funktionaler Zusammenhang nur schrittweise gegeben.

Stetigkeit reeller FunktionenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine reelle Funktion, also eine Funktion  , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich   ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.
In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von   in einem   zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.

 
Veranschaulichung der  Definition: für   erfüllt   die Stetigkeitsbedingung.

Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium.   heißt stetig in  , wenn zu jedem   ein   existiert, so dass für alle   mit

 

gilt:

 .

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung   des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung   im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

Beispiel: Nachweis der Stetigkeit der Funktion   an der Stelle  

Seien   und   mit

 .

Es ist

 .

Damit dies kleiner als die vorgegebene Zahl   ist, kann z. B.

 

gewählt werden. Denn aus

 

folgt dann nämlich

 .
 
Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)

Definition mittels Grenzwerten. Bei dieser Definition fordert man die Vertauschbarkeit von Funktionsausführung und Grenzwertbildung. Hierbei kann man sich wahlweise auf den Grenzwertbegriff für Funktionen oder für Folgen stützen.
Im ersten Fall formuliert man:   heißt stetig in  , wenn der Grenzwert   existiert und mit dem Funktionswert   übereinstimmt, wenn also gilt:

 .

Im zweiten Fall formuliert man:   heißt stetig in  , wenn für jede gegen   konvergente Folge   mit Elementen  , die Folge   gegen   konvergiert.
Die zweite Bedingung wird auch als Folgenkriterium bezeichnet.

Statt von Stetigkeit in   spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt   oder Stetigkeit an der Stelle  . Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man   unstetig in (im Punkt/an der Stelle)  , bzw. bezeichnet   als Unstetigkeitsstelle von  .

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Beispiele stetiger und unstetiger FunktionenBearbeiten

Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Damit folgt insbesondere die Stetigkeit

Die Stetigkeit dieser Funktionen lässt sich aber auch ohne Rückgriff auf den Begriff der Differenzierbarkeit direkt beweisen.

Die Betragsfunktion ist ebenfalls stetig, auch wenn sie im Punkt 0 nicht differenzierbar ist. Ebenfalls stetig sind alle Potenzfunktionen (etwa  ), obwohl sie für einen Exponenten kleiner 1 im Punkt 0 ebenfalls nicht differenzierbar sind.
Tatsächlich sind alle elementaren Funktionen stetig (zum Beispiel  ).

 
Der Graph einer stetigen rationalen Funktion. Die Funktion ist nicht definiert für  .

Bei der Betrachtung der elementaren Funktionen ist allerdings zu beachten, dass einige elementare Funktionen als Definitionsbereich nur eine echte Teilmenge der reellen Zahlen haben. Bei der Quadratwurzelfunktion werden z. B. alle negativen Zahlen ausgelassen, bei der Tangensfunktion alle Nullstellen des Kosinus.
In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.
Beispielsweise ist die Funktion

 

definiert für alle reellen Zahlen   und in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig. Sie ist also eine stetige Funktion. Die Frage der Stetigkeit in   stellt sich nicht, weil dieser Punkt nicht zum Definitionsbereich gehört. Eine stetige Fortsetzung der Funktion an dieser Definitionslücke ist nicht möglich.

Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest an "den meisten" Stellen differenzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden. Dies zeigt, dass die intuitive Erklärung, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen.

Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne "häufig" unter den stetigen Funktionen sind.

 
Die Vorzeichenfunktion   ist nicht stetig an der Stelle 0.

Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:

Stetigkeit zusammengesetzter FunktionenBearbeiten

Ähnlich wie die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit eine Eigenschaft, die sich bei vielen Operationen von den Bestandteilen auf die daraus zusammengesetzten Funktionen überträgt. Bei den folgenden Punkten sei die Stetigkeit von   in   bereits gegeben.

  • Hintereinanderausführung: Ist   eine weitere reelle Funktion, deren Definitionsbereich den Wertebereich von   umfasst und die in   stetig ist, dann ist die Komposition   stetig in  .
  • Algebraische Operationen: Ist   eine weitere reelle Funktion mit dem selben Definitionsbereich wie  , die ebenfalls in   stetig ist, dann sind die punktweise definierten Funktionen  ,  ,   und   ebenfalls stetig in  . Im letzten Fall ist allerdings zu beachten, dass der Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion sich als   ohne die Nullstellenmenge von   ergibt. Insbesondere darf   selbst in diesem Fall also keine Nullstelle von   sein.
  • Maximum/Minimum: Unter den gleichen Voraussetzungen wie im vorherigen Punkt sind die punktweise definierten Funktionen   und   stetig in  .

Passen die Definitionsbereiche der beteiligten Funktionen nicht wie gefordert zusammen, so kann man sich eventuell durch geeignete Einschränkungen der Definitionsbereiche weiter helfen.

Unter bestimmten Voraussetzungen überträgt sich Stetigkeit auch auf die Umkehrfunktion. Allerdings kann die Aussage hier nicht für die punktweise Stetigkeit formuliert werden:

Ist der Definitionsbereich der injektiven, stetigen reellen Funktion   ein Intervall, so ist die Funktion streng monoton (steigend oder fallend). Die auf dem Wertebereich von   definierte Umkehrfunktion   ist ebenfalls stetig.

Mit Hilfe dieser Permanenzeigenschaften kann man zum Beispiel die Stetigkeit der oben angegebenen elementaren Funktion   aus der Stetigkeit des Kosinus, der identischen Funktion und der konstanten Funktionen ableiten. Verallgemeinert man diese Überlegung, so ergibt sich die Stetigkeit aller elementaren Funktionen als Konsequenz aus den vorher angegebenen einfachen Beispielen.

Hauptsätze über stetige reelle FunktionenBearbeiten

Es gibt eine Reihe wichtiger Sätze, die für stetige reelle Funktionen   gelten. Diese lassen sich am einfachsten formulieren, wenn man annimmt, dass   mit   ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist:

  • Zwischenwertsatz: Die Funktion nimmt jeden Wert zwischen   und   an.
 
ist eine Stammfunktion von  .

Aus Zwischenwertsatz und Satz vom Minimum und Maximum zusammen folgt, dass das Bild von   ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall (bzw. im Fall einer konstanten Funktion eine einpunktigen Menge) ist.

Andere StetigkeitsbegriffeBearbeiten

Verschärfungen des Begriffs der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie die absolute Stetigkeit und die geometrische Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Existenz- und Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen und in der geometrischen Maßtheorie. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie, die geometrische Stetigkeit in der geometrischen Modellierung.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Stetigkeit für Funktionen mehrerer VariablenBearbeiten

Eine Funktion

 
 

heißt stetig in  , wenn für jede gegen   konvergierende Folge die Folge der Funktionswerte gegen   konvergiert.

Sie heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.

Ist die Funktion   stetig, so ist sie auch stetig in jedem Argument.

Dabei heißt die Funktion   stetig im ersten Argument, wenn für jedes   die Funktion

 
 

stetig ist. Analog wird die Stetigkeit im zweiten, dritten, … ,  -ten Argument definiert.

 
Darstellung der im Punkt (0,0) nicht stetigen nebenstehenden Funktion f.

Umgekehrt folgt aus der Stetigkeit in jedem Argument noch nicht die Stetigkeit von  , wie das folgende Beispiel zeigt:

 

Man überzeugt sich leicht, dass diese Funktion in beiden Argumenten stetig ist. Die Funktion ist im Punkt   aber unstetig. Definiert man nämlich   für  , so ist   eine Folge, die in   gegen   konvergiert. Es gilt   für alle  . Die Bildfolge hat also den konstanten Wert   und konvergiert somit nicht gegen den Funktionswert 0 an der betrachteten Stelle.

Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen RäumenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Seien   und   metrische Räume,   eine Abbildung und  .

Dann heißt   stetig in  , wenn aus   stets   folgt. Diese Bedingung ist wieder äquivalent zum  Kriterium.

Die Abbildung   heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt   stetig ist.

Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen euklidischen VektorräumenBearbeiten

Eine Abbildung

 

ist im Sinne dieser Definition genau dann stetig in  , wenn die Komponentenabbildungen   alle stetig in   sind.

Abbildungen zwischen normierten VektorräumenBearbeiten

Ein linearer Operator

 

zwischen normierten Vektorräumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist, wenn es also eine Konstante   gibt, so dass

 

für alle  .

Stetigkeit in der TopologieBearbeiten

Das Konzept der Stetigkeit wurde zunächst für reelle und komplexe Funktionen entwickelt. Bei der Begründung des mathematischen Teilgebiets der Topologie zeigte sich aber, dass das Konzept sich natürlich auf dieses Gebiet erweitern lässt. Seitdem ist die Stetigkeit einer der Grundbegriffe der modernen Mathematik.

Die oben angegebenen alternativen Definitionen von Stetigkeit können leicht auf viel allgemeinere Situationen ausgedehnt werden, wobei ein Großteil der angegebenen Eigenschaften stetiger Funktionen ebenfalls verallgemeinert werden kann. Dieser verallgemeinerte Stetigkeitsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die Topologie und verwandte mathematische Teilgebiete (etwa die Funktionalanalysis).

Definitionen der StetigkeitBearbeiten

Da man topologische Räume auf unterschiedliche (aber äquivalente) Weise definieren kann, existieren auch mehrere gleichwertige Definitionen der Stetigkeit. Im Folgenden finden sich bei jeder Definition mehrere Varianten, die sich durch ihren Grad an Formalisierung unterscheiden. Betrachtet man bei einer Funktion nicht wie bei der Stetigkeit die Urbilder, sondern die Bilder der Funktion, so gelangt man zu den Begriffen der offenen bzw. abgeschlossenen Abbildung.

Offene MengenBearbeiten

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann heißt   stetig, wenn das Urbild unter   von jeder in   offenen Menge   wieder offen in   ist.
  3.   stetig     (wobei   die Topologie des Raumes  , also die Menge der offenen Mengen des topologischen Raumes ist)

Abgeschlossene MengenBearbeiten

Die Stetigkeit kann durch abgeschlossene Mengen definiert werden, indem man „offene Mengen“ in obiger Definition durch „abgeschlossene Mengen“ ersetzt:

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen wiederum abgeschlossene Mengen sind.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann heißt   stetig, wenn das Urbild unter   von jeder in   abgeschlossenen Menge   wieder abgeschlossen in   ist.
  3.   stetig    
 
Stetigkeit in einem Punkt x: für jede Umgebung V von f(x) gibt es eine Umgebung U von x mit f(U) ⊆ V

UmgebungenBearbeiten

Sei   die Menge aller Umgebungen eines Punktes  .

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für jeden Punkt gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann ist   genau dann stetig, wenn für jeden Punkt   in   gilt: Ist   eine Umgebung von  , dann gibt es eine Umgebung   von  , so dass   in   enthalten ist.
  3.   stetig    

NetzeBearbeiten

Für eine gerichtete Menge   und eine Menge   ist ein Netz eine Abbildung  . Meist schreibt man analog zu Folgen  . Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

  1. Seien   und   topologische Räume. Eine Abbildung   ist genau dann stetig, wenn für alle   gilt: Für jedes in   gegen   konvergierende Netz   konvergiert das Netz   in   gegen  
  2.   stetig    

Funktionen, die die schwächere Bedingung „ “ erfüllen, werden folgenstetig in   genannt. Erfüllt   das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies ist z. B. für metrische Räume der Fall), so sind die beiden Begriffe gleichwertig.

AbschlussBearbeiten

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn das Bild des Abschlusses einer beliebigen Teilmenge im Abschluss des Bildes dieser Teilmenge enthalten ist.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann ist   genau dann stetig, wenn für jede Teilmenge   von   gilt: Das Bild des Abschlusses von   liegt im Abschluss des Bildes von  .
  3.   stetig    

Eigenschaften stetiger FunktionenBearbeiten

  • Wenn   und   stetige Funktionen sind, dann ist die Komposition   auch stetig.
  • Einschränkungen stetiger Funktionen sind stetig.
  • Wenn   stetig und
    • X kompakt ist, dann ist   kompakt.
    • X zusammenhängend ist, dann ist   zusammenhängend.
    • X wegzusammenhängend ist, dann ist   wegzusammenhängend.
  • Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Viele wichtige Sätze über Funktionen setzen voraus, dass diese stetig sind. Hier einige Beispiele:

  • Der Satz von Peano über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen setzt die Stetigkeit der rechten Seite voraus.
  • Der in der Topologie wichtige brouwersche Abbildungsgrad und seine in der Funktionalanalysis verwendeten Verallgemeinerungen sind für stetige Abbildungen definiert.
  • Eine stetige Funktion von einer nichtleeren kompakten und konvexen Teilmenge eines hausdorffschen topologischen Vektorraums in sich selbst besitzt einen Fixpunkt (Fixpunktsatz von Schauder).

Beispiele stetiger FunktionenBearbeiten

Elementare BeispieleBearbeiten

  • Für eine Definitionsmenge   mit der diskreten Topologie ist jede Funktion   in einen beliebigen Raum   stetig.
  • Für eine Zielmenge   mit der indiskreten Topologie ist jede Funktion   in diesen Raum   stetig.
  • Konstante Abbildungen zwischen beliebigen topologischen Räumen sind immer stetig.
  • Für eine Definitionsmenge mit der indiskreten Topologie und eine Zielmenge, die ein T0-Raum ist, sind die konstanten Funktionen die einzigen stetigen Funktionen.
  • Die identische Abbildung   ist genau dann stetig, wenn die Topologie des Urbildraumes feiner ist, als die des Bildraumes, d. h.  .

WegeBearbeiten

Ist   ein topologischer Raum, so bezeichnet man eine stetige Funktion von   nach   auch als Weg in  . Dieser Begriff ist selbst wieder in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik von großer Bedeutung:

Überraschend mag das Ergebnis sein, dass der n-dimensionale Einheitswürfel   für jedes   durch einen Weg vollständig ausgefüllt werden kann (Peano-Kurve).

HomöomorphismenBearbeiten

In der Algebra gilt, dass die Umkehrfunktion eines bijektiven Homomorphismus wieder ein Homomorphismus ist. Homomorphismen sind per Definition dadurch charakterisiert, dass ihre Anwendung mit der Ausführung der Rechenoperationen vertauscht werden kann. Beim Beweis der Homomorphismus-Eigenschaft der Umkehrfunktion nutzt man aus, dass die Rechenoperationen immer ausgeführt werden können (im Definitionsbereich) und immer ein eindeutiges Ergebnis haben (in der Zielmenge). Eine stetige Funktion kann charakterisiert werden als eine Funktion, deren Anwendung mit der Grenzwertbildung (von Netzen) vertauscht werden kann. Da aber Netze im Definitionsbereich nicht konvergieren müssen und in der Zielmenge Netze auch gegen mehrere Grenzwerte konvergieren können, gilt eine analoge Aussage über Umkehrfunktionen hier nicht. Dies zeigt zum Beispiel die bijektive stetige Funktion  .
Man bezeichnet eine bijektive Funktion zwischen zwei topologischen Räumen als Homöomorphismus, wenn eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

(a) Die Funktion und ihre Umkehrfunktion sind stetig.
(b) Die Funktion und ihre Umkehrfunktion sind offen.
(c) Die Funktion und ihre Umkehrfunktion sind abgeschlossen.
(d) Die Funktion ist stetig und offen.
(e) Die Funktion ist stetig und abgeschlossen.

Jede stetige Bijektion zwischen kompakten Hausdorff-Räumen ist ein Homöomorphismus.

Funktionen mehrerer VariablenBearbeiten

Eine Funktion, deren Definitionsbereich ein Kartesisches Produkt ist, wird auch als Funktion in mehreren Variablen bezeichnet. Die folgenden Ausführungen für den Fall eines Produktes von zwei topologischen Räumen können auf beliebige (auch unendliche) Produkte erweitert werden.

Seien  ,   und   topologische Räume und   eine Funktion in zwei Variablen.

  heißt stetig im ersten Argument, wenn für jedes   die Funktion   stetig ist. Analog wird die Stetigkeit im zweiten Argument definiert.

Ist die Funktion   stetig (hierbei wird auf   die Produkttopologie angenommen), so ist   auch stetig in beiden Argumenten. Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel in Stetige Funktionen in mehreren Veränderlichen zeigt.

Die umgekehrte Situation ist deutlich einfacher: Für eine Funktion   gibt es (eindeutig bestimmte) Funktionen   und  , so dass   für alle  . Dann ist   genau dann stetig, wenn   und   es sind. Man kann also   in natürlicher Weise mit   identifizieren.

Menge der stetigen FunktionenBearbeiten

Die Menge aller stetigen Funktionen von   nach   wird meist mit   oder   bezeichnet. Dabei steht das C für „continuous“, englisch für „stetig“. Ist der Bildraum   aus dem Kontext ersichtlich oder  , so schreibt man oft nur   bzw.  .

  ist eine Unteralgebra der  -Algebra aller reellwertigen Funktionen auf  . Zwei stetige Funktionen von   nach   stimmen bereits überein, wenn sie auf einer dichten Teilmenge von   übereinstimmen. Da jede Teilmenge von   eine höchstens abzählbare dichte Teilmenge besitzt, kann man hieraus ableiten, dass die Mächtigkeit von   die Mächtigkeit des Kontinuums ist (falls   nicht leer ist). Die Menge aller Funktionen von   nach   hat eine wesentlich größere Mächtigkeit (zumindest, wenn   ein Intervall mit mehr als einem Element ist). Man kann das so interpretieren, dass Stetigkeit unter reellen Funktionen eine 'seltene' Eigenschaft ist. Dies widerspricht etwas der Alltagserfahrung, da ja alle elementaren Funktionen stetig sind.

Wichtige Unterräume von   sind zum Beispiel:

Ist   ein kompakter Raum, so tragen die stetigen Funktionen mehr Struktur. Ist dann zusätzlich   ein metrischer Raum, zum Beispiel wieder  , so sind die stetigen Funktionen stets eine Teilmenge der beschränkten Funktionen, es gilt also

 .

Ist auf   eine Norm   definiert, so wird über

 

eine Norm auf   definiert, die sogenannte Supremumsnorm. Diese Definition ist aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf kompakten Räumen sinnvoll.

Ist   ein Banach-Raum, also ein vollständiger normierter Raum, so ist auch   ein Banach-Raum. Die stetigen Funktionen sind dann ein abgeschlossener Unterraum der beschränkten Funktionen.

Bedeutung der Stetigkeit in der MathematikBearbeiten

Der Begriff der Stetigkeit ist in vielen Teilgebieten der Mathematik von zentraler Bedeutung. Die hier angegebenen Beispiele können keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben.

Verknüpfung von algebraischen und topologischen StrukturenBearbeiten

Viele der in der Mathematik untersuchten Mengen tragen in natürlicher Weise sowohl eine topologische als auch eine algebraische Struktur. Ein einfaches Beispiel hierfür sind die Mengen   und  , die durch die Betragsmetrik zu metrischen Räumen werden, und die gleichzeitig durch die Grundrechenarten zu Körpern werden. Eine besonders reichhaltige Theorie ergibt sich, wenn diese beiden Strukturen harmonieren. Dies ist dann gegeben, wenn die Verknüpfung(en), die die algebraische Struktur definieren, stetige Funktionen bezüglich der betrachteten Topologie sind. Auf diese Weise ergeben sich sehr einfach die Definition einer topologischen Gruppe, eines topologischen Rings/Körpers und eines topologischen Vektorraums.

Hat man zwei Exemplare einer solchen Kategorie (also etwa zwei topologische Gruppen), so bietet es sich an, die Funktionen zwischen diesen beiden zu untersuchen, die verträglich mit beiden Strukturen sind, die also stetige Homomorphismen sind. In der Funktionalanalysis werden zum Beispiel intensiv die Eigenschaften von (Räumen von) stetigen linearen Operatoren untersucht. In allen genannten Kategorien ist ein Homomorphismus übrigens entweder stetig oder in jedem Punkt unstetig.

Definition von TopologienBearbeiten

Man kann das Konzept der Stetigkeit auch nutzen, um Mengen mit einer Topologie zu versehen. Sei   eine Funktion zwischen zwei Mengen, von denen eine bereits mit einer Topologie versehen ist. Dann kann man sich fragen, welche Topologie man auf der anderen Menge wählen sollte, damit die Funktion stetig wird. Zunächst erscheint die Antwort offensichtlich: Auf dem Definitionsbereich wählt man die diskrete Topologie, auf der Zielmenge die triviale Topologie. Dann ist zwar die Stetigkeit von   sichergestellt, aber man gewinnt im Normalfall keine neuen Erkenntnisse.

Interessanter ist es, wenn man auf dem Definitionsbereich nach einer möglichst groben Topologie sucht, bezüglich der   immer noch stetig ist (bzw. auf der Zielmenge nach einer möglichst feinen). Ist es zum Beispiel möglich eine Topologie zu wählen, bezüglich der der Definitionsbereich kompakt oder zusammenhängend ist, so kann man die entsprechenden Ergebnisse über stetige Funktionen auf solchen Räumen nutzen, um Erkenntnisse über   bzw. das Bild von   zu gewinnen. Verallgemeinert man diese Überlegungen auf ganze Familien von Funktionen, so kommt man zu den Begriffen der Initialtopologie und der Finaltopologie.

Existenz und Fortsetzung von stetigen FunktionenBearbeiten

Ein gängiges Verfahren zur Untersuchung eines Objektes einer mathematischen Kategorie ist es, die Menge der strukturerhaltenden Funktionen in besonders gut verstandene Vertreter der Kategorie zu untersuchen. In vielen Fällen kann man auf diesem Weg auch Erkenntnisse über das zu untersuchende Objekt selbst gewinnen. In der Linearen Algebra untersucht man zum Beispiel die Menge der linearen Abbildungen von einem beliebigen Vektorraum in den Grundkörper und bezeichnet diese als den Dualraum. In der Topologie bieten sich als Modellräume die topologischen Räume   und   an.

Bezogen auf die Stetigkeit kann dieses Vorgehen aber nur sinnvoll sein, wenn man an den zu untersuchenden Raum noch zusätzliche Bedingungen stellt. Auf einem Raum mit der trivialen Topologie etwa ist jede stetige komplexwertige Funktion bereits konstant (das gilt sogar für jede stetige Funktion, deren Zielmenge ein Kolmogoroff-Raum ist).

Wenn man einen topologischen Raum dadurch verstehen will, dass man die stetigen Funktionen von ihm in einen der Modellräume untersucht, so sollte die Menge dieser Funktionen wenigstens punktetrennend sein. Dies führt auf die Definition eines vollständigen Hausdorff-Raums. Dieser wird gerade über die Existenz einer ausreichenden Menge von stetigen Funktionen definiert.

Wünschenswert wäre es natürlich, ein elementares topologisches Kriterium zu besitzen, das diese Existenz sichert. Hier bieten sich Hausdorff-Räume an, die normal oder lokalkompakt sind. Ein Großteil der in der Mathematik untersuchten topologischen Räume fällt zumindest in eine der beiden Kategorien. Das Lemma von Urysohn stellt für diese beiden Klassen von Räumen (unter anderem) sicher, dass sie vollständige Hausdorff-Räume sind.

Tatsächlich zeigt der allgemeinere Fortsetzungssatz von Tietze, dass sich in solchen Räumen stetige Funktionen in einen der Modellräume, die nur auf einer abgeschlossenen (bei normalen Räumen) bzw. kompakten (bei lokalkompakten Räumen) Teilmenge definiert sind, zu stetigen Funktionen vom ganzen Raum in den Modellraum fortsetzen lassen. Im zweiten Fall kann dabei die Fortsetzung so gewählt werden, dass sie weiterhin kompakten Träger besitzt.

Algebren stetiger komplexwertiger FunktionenBearbeiten

Für einen topologischen Raum   bildet  , die Menge der stetigen komplexwertigen Funktionen auf  , wie bereits festgestellt, eine  -Algebra. Diese ist natürlich kommutativ und unital (die Funktion mit dem konstanten Wert 1 ist das Einselement).

Zusätzlich ist auf dieser Algebra in natürlicher Weise eine konjugiert lineare Involution gegeben, die auch mit der Multiplikation verträglich ist. Diese ist gegeben durch   für  .

  ist also eine unitale, kommutative *-Algebra. Man beachte, dass die Untersuchung dieser Algebren die Untersuchung der Algebren aller komplexwertigen Funktionen auf einer beliebigen Menge einschließt, da man jede Menge mit der diskreten Topologie versehen kann, wodurch alle Funktionen stetig werden.

Das Lemma von Urysohn stellt für die meisten wichtigen topologischen Räume sicher, dass   ausreichend reichhaltig ist. Tatsächlich erweist sich diese Algebra als oftmals zu groß für die praktische Untersuchung. Man geht daher meist zur unitalen *-Unteralgebra   der beschränkten, stetigen komplexwertigen Funktionen auf   über. Falls   kompakt ist, so gilt  , wegen (15').

  wird durch die Supremumsnorm zu einer kommutativen, unitalen C*-Algebra.

Der Satz von Gelfand-Neumark besagt, dass jede kommutative, unitale C*-Algebra isomorph ist zu   für einen geeignet gewählten kompakten Hausdorff-Raum  . Dabei ist   bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt (und der Satz gibt auch ein konstruktives Verfahren zur Ermittlung von   an). Somit kann die Theorie der kommutativen, unitalen C*-Algebren vollständig identifiziert werden mit der Theorie der kompakten Hausdorff-Räume. Dies ist ein mächtiges Werkzeug, da Aussagen, die in der einen Theorie schwierig zu beweisen sind, in die andere Theorie übertragen werden können, wo ihr Beweis oft viel einfacher ist.

In Erweiterung dieses Ergebnisses kann die Theorie der kommutativen, eventuell nicht unitalen, C*-Algebren mit der Theorie der lokalkompakten Hausdorff-Räume identifiziert werden. Hierbei wird allerdings zu einem lokalkompakten Hausdorff-Raum   nicht  , sondern die Unteralgebra der C0-Funktionen auf   betrachtet.

Bemerkung: Mittels der GNS-Konstruktion kann auch jede nicht-kommutative C*-Algebra mit einer Algebra stetiger (linearer) Funktionen identifiziert werden. Hierbei wird allerdings als Multiplikation die Komposition von Operatoren und nicht die punktweise Multiplikation verwendet. Daher sollten diese beiden Vorgehensweisen nicht miteinander verwechselt werden.

Zwei weitere wichtige Ergebnisse über die Struktur von   für kompakte Hausdorff-Räume   sind der Satz von Stone-Weierstraß (Charakterisierung der dichten *-Unteralgebren von  ) und der Satz von Arzelà-Ascoli (Charakterisierung der relativ kompakten Teilmengen von  ). Ein Spezialfall des ersten Satzes ist der Approximationssatz von Weierstraß, der besagt, dass auf einer kompakten Teilmenge von   jede stetige, komplexwertige Funktion gleichmäßig durch eine Folge von Polynomfunktionen approximiert werden kann.

Hinreichende Bedingungen für StetigkeitBearbeiten

Da stetige Funktionen eine Reihe angenehmer Eigenschaften besitzen, ist es wünschenswert, Werkzeuge zu besitzen, mit denen man die Stetigkeit von Funktionen nachweisen kann.

Ein einfaches Ergebnis in dieser Hinsicht ist, dass eine reelle oder komplexe Funktion an jeder Stelle, an der sie differenzierbar ist, auch stetig ist.

Weiterhin gilt, dass eine auf einer konvexen, offenen Teilmenge des   definierte konvexe oder konkave reellwertige Funktion immer stetig ist.

Stetigkeit linearer OperatorenBearbeiten

Seien   zwei Vektorräume (wobei hier als Grundkörper immer   oder   genommen werden soll) und   ein linearer Operator. Die Frage der Stetigkeit von   stellt sich, wenn sowohl   als auch   zusätzlich eine Topologie tragen. Dabei beschränkt man sich im Normalfall auf den Fall, dass die Topologien, wie oben erklärt, mit den Vekrorraumstrukturen verträglich sind.

Ist   endlichdimensional, so gibt es genau eine Hausdorff-Topologie auf  , die diese Verträglichkeit erfüllt. Bezüglich dieser Topologie sind alle linearen Operatoren in beliebige topologische Vektorräume stetig.

Auf unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen gibt es dagegen im Allgemeinen lineare Funktionale (also lineare Operatoren in den Grundkörper), die unstetig sind.

Es gibt sogar topologische Vektorräume, auf denen das 0-Funktional das einzige stetige lineare Funktional ist.

Für hausdorffsche, lokalkonvexe Räume stellt allerdings der Satz von Hahn-Banach die Existenz einer ausreichenden Menge von stetigen, linearen Funktionalen sicher. Dieser Satz übernimmt in der Theorie der lokalkonvexen Räume eine ähnliche Rolle, wie der Satz von Tietze in der Theorie der lokalkompakten Räume.

Tatsächlich lässt sich die Stetigkeit von linearen Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen wie folgt charakterisieren:

Sind   und   lokalkonvex, so ist   genau dann stetig, wenn für jede stetige Halbnorm   auf   die Halbnorm   stetig auf   ist.

Ist   sogar ein normierter Raum (allgemeiner ein bornologischer Raum), so ist   genau dann stetig, wenn es beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbildet. Diese Eigenschaft wird auch als Beschränktheit von   bezeichnet. Man beachte, dass diese Eigenschaft nicht gleichbedeutend ist mit der üblichen Definition von beschränkten Funktionen. Diese übliche Definition wird bei linearen Operatoren nur vom 0-Operator erfüllt.

Sind   und   sogar Banachräume, so kann der Satz vom abgeschlossenen Graphen oft zum Nachweis der Stetigkeit genutzt werden.

Stetige FortsetzbarkeitBearbeiten

Seien   und  , topologische Räume,   und   eine Funktion. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist,   auf ganz   fortzusetzen, so dass die Fortsetzung in   stetig ist. Falls   ein isolierter Punkt von   ist, so ist dies wegen (4) für jede Fortsetzung der Fall. Man betrachtet daher den Fall, dass   kein isolierter Punkt ist und   ein Hausdorff-Raum ist. Dann ist nämlich eine solche Fortsetzung wegen (17') eindeutig bestimmt. Existiert in dieser Situation die geforderte Fortsetzung, so sagt man, dass   in   (durch den eindeutig bestimmten Funktionswert) stetig ergänzbar ist.

Der Satz von Tietze kann nicht zur Lösung dieser Frage genutzt werden, da der Definitionsbereich von   in der beschriebenen Situation nicht abgeschlossen in   ist.

Tatsächlich muss die Frage der stetigen Fortsetzbarkeit oft individuell beantwortet werden. Betrachtet man von   nach   die Funktionen   und  , so ist die erste in 0 stetig ergänzbar (mit dem Wert 0), die zweite nicht. Dies liegt daran, dass beide Funktionen um das Argument 0 herum oszillieren, die Ausschläge bei der ersten aber durch den zusätzlichen Faktor   immer mehr gedämpft werden.

In vielen Fällen kann die Regel von de l’Hospital benutzt werden, um die Frage nach der stetigen Fortsetzbarkeit reeller oder komplexer Funktionen positiv zu beantworten.

Der Begriff der stetigen Fortsetzbarkeit kann auch zur Definition der Differenzierbarkeit herangezogen werden: Sind in der oben beschriebenen Situation   und   Teilmengen von   und ist   eine Funktion, so ist der Differenzenquotient von   in   eine Funktion von   nach  , die gegeben ist durch  . Ist diese Funktion in   stetig fortsetzbar, so heißt   in   differenzierbar und der zum Differenzenquotienten hinzugefügte Funktionswert die Ableitung von   in  .

Stetigkeit von Grenzwerten von FunktionenfolgenBearbeiten

Seien   und   topologische Räume. Für jedes   sei   eine stetige Funktion. Die Funktionenfolge   konvergiere punktweise gegen eine Funktion  . Es stellt sich die Frage, ob in dieser Situation bereits auf die Stetigkeit von   geschlossen werden kann.

Dass dies im Allgemeinen nicht gilt, zeigt folgendes Beispiel:

Ist   und   für  , so gilt

 

Diese Funktionenfolge stetiger Funktionen konvergiert also punktweise gegen eine unstetige Funktion.

Es gibt aber verschiedene Zusatzbedingungen, die in der beschriebenen Situation dennoch die Stetigkeit der Grenzfunktion sicherstellen.

Eine Möglichkeit ist die Verwendung eines strengeren Konvergenzbegriffs für Funktionenfolgen, der dann die Stetigkeit der Grenzfunktion sicherstellt. Hier sei insbesondere der Begriff der lokal gleichmäßigen Konvergenz genannt. Dieser setzt allerdings voraus, dass   ein metrischer Raum (oder wenigstens ein uniformer Raum) ist.

Mit Hilfe dieses Konvergenzbegriffs von Funktionenfolgen lässt sich auch die oben bereits erwähnte Stetigkeit von durch Potenzreihen definierten komplexen Funktionen im Innern ihres Konvergenzkreises beweisen (siehe auch Abelscher Grenzwertsatz).

Der Satz von Banach-Steinhaus stellt die Stetigkeit der Grenzfunktion sicher, wenn   und   Banachräume sind und alle   lineare Operatoren sind.

Andere StetigkeitsbegriffeBearbeiten

Ordnungstheoretischer StetigkeitsbegriffBearbeiten

Ordnungstheoretisch lässt sich die Stetigkeit als Verträglichkeit einer Funktion mit dem Supremum vollständiger Halbordnungen   fassen. Eine Funktion   heißt stetig, wenn   für alle gerichteten Teilmengen   gilt.[1] Dieser Begriff spielt in der Bereichstheorie eine zentrale Rolle.[2] Ähnlich der Folgenstetigkeit oben werden auch hier Grenzwerte wieder auf Grenzwerte abgebildet.

In diesem Zusammenhang folgt aus der Stetigkeit einer Funktion deren Monotonie. Umgekehrt bildet jede monotone Funktion eine gerichtete Menge wieder auf eine solche ab, wodurch die Existenz des Supremums des Abbilds dann von vornherein gewiss ist und nicht mehr gezeigt werden muss. Viele Autoren nehmen die Monotonie als Voraussetzung in die Definition der Stetigkeit auf.

Weitere Stetigkeitsbegriffe auf metrischen RäumenBearbeiten

Für Funktionen zwischen metrischen Räumen gibt eine Reihe weiterer Stetigkeitsbegriffe, die jeweils strengere Bedingungen daran stellen, wie stark der Funktionswert in Abhängigkeit von der Schwankung im Argument schwanken darf. Hier wäre zu nennen: gleichmäßige Stetigkeit (kann auch für Funktionen auf uniformen Räumen definiert werden), (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie (falls der Definitionsbereich ein reelles Intervall ist) absolute Stetigkeit.

Der Satz von Heine besagt, dass eine stetige Funktion von einem kompakten Hausdorff-Raum in einen beliebigen uniformen Raum immer auch gleichmäßig stetig ist.

Weitere StetigkeitskriterienBearbeiten

  • Eine Funktion von einem topologischen Raum in einen metrischen Raum ist genau dann stetig in einem Punkt des Definitionsbereichs, wenn die Oszillation der Funktion an dieser Stelle 0 ist.
  • Definition in der Nichtstandard-Analysis: Eine Funktion ist stetig an der Stelle  , wenn für alle Infinitesimale   gilt, dass auch die Differenz   infinitesimal ist. Sprich:  .

VerschiedenesBearbeiten

Zusammenhang zwischen Stetigkeit und DifferenzierbarkeitBearbeiten

Wie bereits gesagt, ist eine reelle oder komplexe Funktion an jeder Stelle, an der sie differenzierbar ist, auch stetig. Dass die Umkehrung nicht gilt, zeigt die Betragsfunktion. Sowohl die reelle als auch die komplexe Betragsfunktion ist stetig. Die reelle Betragsfunktion ist überall außer an der Stelle 0 differenzierbar, während die komplexe Betragsfunktion gar nicht differenzierbar ist.

Lange Zeit war offen, ob es auch stetige reelle Funktionen gibt, die nirgends differenzierbar sind. Das erste Beispiel einer reellen stetigen aber nirgends differenzierbare Funktion wurde von Bernard Bolzano konstruiert (Bolzanofunktion). Dieses Beispiel wurde aber erst deutlich später veröffentlicht. Bekannt wurde die Existenz solcher Funktionen durch Karl Weierstraß (Weierstraß-Funktion), der damit viele zeitgenössische Mathematiker überraschte.

Mit Hilfe des Satzes von Baire wurde später gezeigt, dass die Menge der an keiner Stelle differenzierbaren Funktionen sogar dicht in   ist.

Ist eine Funktion an jeder Stelle differenzierbar, so stellt sich die Frage nach der Stetigkeit ihrer Ableitungsfunktion. Für komplexe Funktionen wird diese Frage im Wesentlichen durch die Erkenntnis beantwortet, dass die Ableitung einer auf einer offenen Teilmenge von   differenzierbaren Funktion selber wieder differenzierbar und damit auch stetig ist.

Für reelle Funktionen gilt diese Aussage nicht. Da aber die Stetigkeit der Ableitungsfunktion sich in vielen Fällen als bedeutsam herausgestellt hat, wurde der Begriff der stetigen Differenzierbarkeit eingeführt. Näheres dazu findet sich im Artikel über die Differenzierbarkeit.

Der Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf einem reellen Intervall   wird auch mit   bezeichnet. Als Grenzfall für   erhält man  , das deswegen auch manchmal als   bezeichnet wird. Ein weiterer Grenzfall ist der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen (glatte Funktionen) auf einem reellen Intervall  . Dieser wird auch mit   bezeichnet.

Anmerkung zur Darstellung in diesem ArtikelBearbeiten

Funktionen sind Objekte der Mengenlehre. Sie besitzen einen Definitionsbereich und eine Zielmenge. Diese beiden Mengen können mit verschiedenen Topologien versehen werden. Die Wahl dieser Topologien ist kein Bestandteil der 'Identität' der Funktion aber wesentlich für die Frage der Stetigkeit. Es ist daher eigentlich unpräzise, davon zu sprechen, dass eine Funktion stetig oder unstetig sei.

Eine präzise Formulierung von (3) für topologische Räume würde zum Beispiel lauten:

Seien   und   topologische Räume. Sei   eine Funktion und  . Dann heißt   stetig in   bezüglich der Räume   und  , wenn für jede  -Umgebung   von   das Urbild   eine  -Umgebung von   ist.

In der mathematischen Praxis ist fast immer klar, welche Topologien auf den jeweiligen Räumen verwendet werden sollen. Daher ist die in diesem Artikel verwendete etwas ungenaue Sprechweise üblich. In den seltenen Fällen, wo mehrere Topologien zur Auswahl stehen, etwa bei der Formulierung von (6'), wird dies durch entsprechende Erläuterungen deutlich gemacht.

GeschichteBearbeiten

Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition der Stetigkeit. Ihr Stetigkeitsbegriff unterschied sich grundsätzlich von dem Eulerschen, wonach eine Funktion stetig heißt, falls sie durch einen einzigen analytischen Ausdruck beschrieben werden kann. Unter einem analytischen Ausdruck verstand Euler Ausdrücke, die durch endliche (algebraische Funktionen) oder unendliche (transzendente Funktionen) Anwendung algebraischer Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Wurzelziehen gebildet werden. Im Eulerschen Sinne galt die Betragsfunktion als unstetig, weil durch zwei analytische Ausdrücke gegeben, während nach der auf Cauchy und Bolzano zurückgehenden Definition diese Funktion stetig ist.

Cauchy und Bolzano nannten eine Funktion stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offenlässt. Das heutzutage übliche  - -Kriterium wurde von Karl Weierstraß in seinem viersemestrigen Vorlesungszyklus verwendet, den er zwischen 1857 und 1887 insgesamt sechzehnmal gehalten hat.[3]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Stetigkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dana Scott: Continuous Lattices. In: SLNM 274. 1972, S. 97–136, Proposition 2.5. S.a. Scott, 1971 (PDF; 1,2 MB).
  2. Roberto M. Amadio and Pierre-Louis Curien: Domains and Lambda-Calculi. Cambridge University Press 1998. ISBN 0-521-62277-8, S. 2.
  3. Hildebrandt, op.cit.