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Eine monoton steigende reelle Funktion (rot) und eine monoton fallende reelle Funktion (blau)

Eine monotone reelle Funktion ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, bei der der Funktionswert entweder immer wächst oder immer fällt, wenn das Argument erhöht wird. Steigt der Funktionswert immer, wenn das Argument erhöht wird, so heißt die Funktion streng monoton steigend, steigt der Funktionswert immer oder bleibt er gleich, heißt sie monoton steigend. Analog heißt eine Funktion streng monoton fallend, wenn ihr Funktionswert immer fällt, wenn das Argument erhöht wird, und monoton fallend, wenn er immer fällt oder gleich bleibt. Reelle monotone Funktionen sind klassische Beispiele für monotone Abbildungen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion  , wobei   eine Teilmenge von   ist, heißt

  • monoton steigend, wenn für alle   mit   gilt, dass  .
  • streng monoton steigend, wenn für alle   mit   gilt, dass  .
  • monoton fallend, wenn für alle   mit   gilt, dass  .
  • streng monoton fallend, wenn für alle   mit   gilt, dass  .
  • monoton, wenn sie entweder monoton steigt oder monoton fällt.
  • streng monoton, wenn sie entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt.

Manchmal werden die nicht strengen Monotoniebegriffe auch für   definiert. Die beiden Definitionen sind gleichwertig. Synonym für „streng“ findet man auch „strikt“, monoton fallend wird gelegentlich auch antiton genannt, genauso wie monoton wachsend auch isoton genannt wird. Es findet sich auch die Bezeichnung „wachsend“ anstelle von „steigend“.

BeispieleBearbeiten

 
Graph der Funktion  
 
Graph der Funktion  
  • Die Funktion   ist auf   streng monoton fallend. Ist nämlich  , so ist   und  . Die Bedingung, dass   sein soll, ist äquivalent zu  . Es ist aber mit der dritten binomischen Formel
 ,
also ist   streng monoton fallend auf  . Der Nachweis, dass   streng monoton wachsend auf   ist, funktioniert analog, aber mit dem Argument, dass   wenn   ist. Damit ist die Funktion aber nicht monoton auf  , da sie auf diesem Intervall kein festes Monotonieverhalten besitzt.
  • Der Logarithmus ist streng monoton wachsend auf  .   ist wieder äquivalent zu  . Dann ist
 ,
wenn  , da dann   ist und dementsprechend  . Also ist  . Somit ist der Logarithmus streng monoton wachsend und demnach auch streng monoton.
  • Die Funktion
 
ist monoton fallend auf dem Intervall  , aber nicht streng monoton fallend. Der Nachweis der Monotonie in der linken Hälfte des Intervalls folgt dem ersten Beispiel, auf dem Intervall   ist jedoch   und damit kann keine strikte Monotonie gelten. Somit ist die Funktion monoton fallend und damit auch monoton.

EigenschaftenBearbeiten

Für eine reelle monotone Funktion   mit   gilt:

  • Streng monotone Funktionen sind stets injektiv, sie nehmen also jeden Wert nur höchstens einmal an. Ist   streng monoton und   ein Intervall und   die Bildmenge, so ist   bijektiv. Daher existiert für streng monotone Funktionen auch immer die Umkehrfunktion. Beispielsweise ist die Sinusfunktion auf dem Intervall   streng monoton wachsend. Schränkt man die Bildmenge auf das Intervall   ein, so ist sie bijektiv und damit invertierbar. Die Umkehrfunktion ist dann der Arkussinus  .
  • Sie hat in jedem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs   einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
  • Sie kann nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben.
  • Die Menge der Sprungstellen in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar, muss aber nicht notwendigerweise endlich sein.
  • Sie ist fast überall differenzierbar, d. h. die Menge der Stellen, an denen   nicht differenzierbar ist, bildet eine lebesguesche Nullmenge.
  • Eine im Intervall   definierte monotone Funktion ist dort Riemann-integrierbar.
  • Für jede monoton wachsende Funktion gilt   für beliebige  . Diese Eigenschaft nutzt man teilweise, um die Monotonie zu verallgemeinern, siehe letzter Abschnitt.
  • Die Monotonie reeller Funktionen ist ein Spezialfall einer monotonen Abbildung. Im Falle einer monoton fallenden Funktion sind die beiden geordneten Mengen dann   und  , die Abbildung ist die Funktion  .

Ableitungen als MonotoniekriteriumBearbeiten

KriterienBearbeiten

Ist die Funktion   differenzierbar, so lässt sich die Ableitung als Monotoniekriterium verwenden. Die Kriterien für strenge Monotonie lauten:

  • Ist   für alle  , so wächst   in   streng monoton.
  • Ist   für alle  , so fällt   in   streng monoton.

Zu beachten ist, dass dieses Kriterium nur hinreichend, aber nicht notwendig ist. Es gibt auch streng monotone Funktionen, deren Ableitung null wird, ein Beispiel ist weiter unten aufgeführt. Es lässt sich mit zusätzlichen Forderungen noch eine Verschärfung dieser Kriterien formulieren:

  • Es ist   ( ) für alle   und die Ableitung ist auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null (wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist) genau dann, wenn   streng monoton wachsend (streng monoton fallend) ist.

Die Kriterien für Monotonie lauten:

  •   für alle   genau dann, wenn   in   monoton wächst.
  •   für alle   genau dann, wenn   in   monoton fällt.

Bei diesen Kriterien handelt es sich um Äquivalenzen.

Alle genannten Kriterien lassen sich noch erweitern: Ist zusätzlich   stetig auf   (bzw.   oder  ), so gilt die Aussage über die Monotonie auch für das Intervall   (bzw.   oder  ).

BeispieleBearbeiten

 
Der Graph der Funktion  . Die Funktion ist streng monoton wachsend.
  • Für die Exponentialfunktion   ist   für alle  . Also ist sie streng monoton wachsend.
  • Die Funktion   besitzt die Ableitung  , diese wird bei   null. Aber die Funktion ist streng monoton wachsend. Ist nämlich   und haben   dasselbe Vorzeichen, so ist
 .
Haben beide unterschiedliches Vorzeichen, so ist direkt  . Somit ist dies ein Beispiel dafür, dass die ersten beiden Kriterien nur hinreichend, aber nicht notwendig sind. Das dritte Kriterium greift hier aber: Die Ableitung der Funktion verschwindet bloß im Punkt   und ist sonst größergleich null. Dies ist äquivalent zum monotonen Wachstum von  .

UmkehrfunktionBearbeiten

Sei   ein Intervall und   sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist:

  • die Bildmenge   ein Intervall,
  •   bijektiv,
  • die Umkehrfunktion   streng monoton wachsend/fallend und stetig,
  •  , wenn wachsend und
  •  , wenn fallend.

VerallgemeinerungenBearbeiten

K-monotone FunktionenBearbeiten

Verallgemeinert man den Monotoniebegriff für Funktionen  , so definiert man auf dem   einen echten Kegel   und betrachtet die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung   und die strikte verallgemeinerte Ungleichung   sowie eine konvexe Menge  . Dann heißt eine Funktion  

  • K-monoton wachsend (K-monoton fallend) wenn für alle   mit   gilt, dass   (bzw.  )
  • strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton fallend) wenn für alle   gilt, dass   (bzw.  ) ist.

Wählt man als Vektorraum den   (den Raum aller reellen symmetrischen Matrizen) und als Kegel den semidefiniten Kegel (bzw. als verallgemeinerte Ungleichung die Loewner-Halbordnung), so erhält man die Matrix-monotonen Funktionen.

Monotone Funktionen zwischen Vektorräumen gleicher DimensionBearbeiten

Eine Möglichkeit, Monotonie für Funktionen   zu verallgemeinern ist, für   zu fordern, dass wenn   für   ist, dass dann für eine monoton wachsende Funktion gelten soll, dass   ist. Die Formulierung monoton fallender Funktionen und der strikten Versionen folgt analog. Dieses Vorgehen entspricht der Verallgemeinerung der Ordnung auf   auf die komponentenweise Halbordnung auf  .

Alternativ kann man die Eigenschaft von monoton wachsenden reellen Funktionen, dass für beliebige   gilt, dass   ist verallgemeinern. Dies führt dann zu dem folgenden Monotoniebegriff: gegeben sei   und eine Funktion  . Die Funktion heißt

  • Monoton auf  , wenn   für alle   gilt.
  • Strikt monoton auf  , wenn   für alle   gilt.
  • Gleichmäßig monoton auf  , wenn   für alle   mit   gilt.

Verallgemeinert man dies weiter, so erhält man den Begriff eines monotonen Operators.

Rechtecksmonotone FunktionBearbeiten

Die Monotonie für Funktionen   kann auch über den Differenz-Operator   definiert werden. Eine Funktion wird dann eine rechtecksmonotone Funktion genannt, wenn

 

gilt.[1]

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3.
  • Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X.
  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 294, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.