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Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie. Das größte Element wird auch als Maximum bezeichnet, dementsprechend spricht man beim kleinsten Element vom Minimum.

Ein Element einer geordneten Menge ist das größte Element der Menge, wenn alle anderen Elemente kleiner sind. Es ist das kleinste Element der Menge, wenn alle anderen Elemente größer sind. Weder das größte noch das kleinste Element einer Menge muss existieren, ist aber im Fall seiner Existenz jeweils bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.

Eine Maximumsfunktion liefert das größte ihrer Argumente als Wert, eine Minimumsfunktion liefert das kleinste ihrer Argumente.

Die Abkürzungen max und min sind gebräuchlich, seltener auch Max und Min.

DefinitionenBearbeiten

  sei eine Quasiordnung,   eine Teilmenge der Grundmenge   und  .

  ist größtes Element von    
  ist kleinstes Element von    [Einzelnachweis 1]

Kleinste Elemente von   sind assoziiert, stehen also in beiden Richtungen in Relation: Falls   und   kleinstes Element von   sind, gilt  . Analoges ist zu größten Elementen zu sagen. Wenn   antisymmetrisch ist, folgt sofort, dass sowohl das größte als auch das kleinste Element (falls vorhanden) eindeutig bestimmt ist.

Ein größtes Element von   wird auch Maximum von   genannt, ein kleinstes Element Minimum. Die Notationen   und   werden gelegentlich verwendet. Man beachte jedoch, dass die Begriffe maximales Element und minimales Element nicht äquivalent sind, falls keine Totalordnung vorliegt.

Kleinste und größte Elemente von   selbst (falls sie existieren) werden manchmal mit 0 und 1 oder auch mit   und   bezeichnet.

Eine Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, nennt man eine Wohlordnung.

BeispieleBearbeiten

  •   ist das größte Element der Menge   von rationalen Zahlen. Die Menge hat kein kleinstes Element.
  •   ist das kleinste Element der Menge   von rationalen Zahlen. Die Menge hat kein größtes Element.
  • Die Menge der positiven ganzen Zahlen hat ein kleinstes, aber kein größtes Element. Bei der Menge der negativen ganzen Zahlen ist es umgekehrt.
  • In der bezüglich Inklusion geordneten Potenzmenge   ist   das größte und die leere Menge   das kleinste Element.
  • Die Menge aller endlichen Teilmengen einer unendlichen Menge hat (bezüglich Inklusion) kein größtes Element.
  • Bei der (gewöhnlichen) Ordnung auf der Menge der natürlichen Zahlen hat jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element, es handelt sich also um eine Wohlordnung.
  • Ordnet man die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich 0) bezüglich der Teilbarkeit, ist 0 das größte Element, da 0 von jeder natürlichen Zahl geteilt wird. Das kleinste Element ist 1, da 1 jede natürliche Zahl teilt.
  • In jedem Ring   ist die   wegen  , und somit  , das größte Element hinsichtlich der Teilbarkeitsrelation  . Alle Einheiten (Teiler der  ) in einem unitären Ring   sind kleinste Elemente.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede endliche nichtleere Kette hat ein größtes und ein kleinstes Element.
  • Ist   größtes Element von  , dann ist   auch maximales Element von   (und alle weiteren maximalen Elemente von   sind zu   assoziiert). Die Umkehrung gilt nicht: Auch wenn   genau ein maximales Element hat, muss   kein größtes Element haben.
    Ein Beispiel dafür ist die Menge   bezüglich der Teilbarkeitsrelation. 3 ist hier das einzige maximale Element, es ist allerdings kein größtes Element, weil es nicht von allen anderen Elementen geteilt wird.
  • Und gespiegelt: Ist   kleinstes Element von  , dann ist   auch das bis auf Assoziiertheit einzige minimale Element von  . Die Umkehrung gilt nicht: Auch wenn   genau ein minimales Element hat, muss   kein kleinstes Element haben.
  • Für totale Ordnungen stimmen die Begriffe größtes Element und maximales Element überein. Ebenso stimmen dafür kleinstes Element und minimales Element überein.
  • Ist   größtes Element von  , dann ist   auch ein Supremum von  . Umgekehrt gilt:
    Hat   kein Supremum, dann auch kein größtes Element.
    Hat   ein Supremum, das aber nicht in   liegt, dann hat   kein größtes Element.[A 1]
    Hat   ein Supremum, das in   liegt, dann ist dies größtes Element von  .
  • Ist   kleinstes Element von  , dann ist   auch ein Infimum von  . Umgekehrt gilt:
    Hat   kein Infimum, dann auch kein kleinstes Element.
    Hat   ein Infimum, das aber nicht in   liegt, dann hat   kein kleinstes Element.
    Hat   ein Infimum, das in   liegt, dann ist dies ein kleinstes Element von  .
  • Hat eine Menge mindestens zwei nichtassoziierte maximale Elemente, dann hat sie kein größtes Element. Hat sie mindestens zwei nichtassoziierte minimale Elemente, dann hat sie kein kleinstes Element.

Maximums- und MinimumsfunktionenBearbeiten

In einer totalen Ordnung (z. B. der gewöhnlichen Ordnung auf den reellen Zahlen) hat jede endliche nichtleere Menge ein Maximum und ein Minimum. Für   sind daher die Funktionswerte

 
 

als Maximum bzw. Minimum von   wohldefiniert.

Die höherstelligen Funktionen lassen sich rekursiv auf die zweistelligen zurückführen:

 
 

Im Bereich der reellen Zahlen können die zweistelligen Funktionen auch so angegeben werden:

 
 

Damit ist nachgewiesen, dass   und   stetige Funktionen sind, weil Summe, Differenz, Betrag, Quotient stetige Funktionen sind und Kompositionen von stetigen Funktionen ebenfalls stetig sind.

Aus den obigen Gleichungen wird auch schnell der Zusammenhang zwischen  - und  -Funktion klar:

 

AnmerkungenBearbeiten

  1. Hat   kein größtes Element, dann lässt es sich ordnungserhaltend einbetten in   mit   als dem Supremum von   und von  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Paul Taylor: Practical Foundations of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-63107-6, S. 131.

LiteraturBearbeiten

  • Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6