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Der Begriff Stelligkeit (auch Arität; englisch arity) steht für die Anzahl der Argumente einer Verknüpfung, einer Abbildung bzw. eines Operators oder in der Informatik für die Parameteranzahl von Funktionen, Prozeduren oder Methoden. Allgemeiner kann dieser Begriff auch auf Relationen angewendet werden.

Stelligkeit für AbbildungenBearbeiten

Einstellige Verknüpfungen benötigen nur ein Argument. Beispiel ist etwa die Betragsfunktion (absoluter Wert) einer Zahl.

Zweistellige Verknüpfungen benötigen zwei Argumente. Beispiele für zweistellige Verknüpfungen sind etwa die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, oder Division, oder die logischen Operationen und (logisches), oder oder (logisches).

Eine  -stellige Verknüpfung,  , ist also eine Abbildung mit   Argumenten:

 

Zum Beispiel ist   eine zweistellige Verknüpfung.

Für   gilt insbesondere:

 ,

sodass dann

 .

Außerdem kann wegen

 [1]

eine nullstellige Verknüpfung stets als eine konstante Abbildung

 

angesehen werden. Diese Abbildung   lässt sich wiederum als die Konstante   auffassen.

Zum Beispiel kann für die Verknüpfung   auch einfach   genommen werden.

Wird für die natürlichen Zahlen die mengentheoretische Darstellung nach John von Neumann zugrunde gelegt,[2] dann ist   und damit  . Für eine Konstante   in   ist dann als Abbildung   aufgefasst  .

Als weiteres Beispiel kann die algebraische Struktur   der Booleschen Algebra dienen, die alle diese Aspekte in sich vereint. Sie besitzt die beiden zweistelligen Operationen Vereinigung und Durchschnitt, das einstellige Komplement und zwei nullstellige Operationen, die Konstanten   und  

Stelligkeit von RelationenBearbeiten

Allgemeiner nennt man eine Teilmenge   eine  -stellige Relation. Ist  , so spricht man von einer  -stelligen Relation auf  .

Eine einstellige Relation ist demnach nichts anderes als eine Teilmenge, die nullstelligen Relationen bilden wegen   bzw.   (leeres kartesisches Produkt) stets die Menge  . Die Isomorphie der Relationen mit Prädikaten ordnet diesen beiden die logischen (booleschen) Konstanten falsch (für  ) und wahr (für  ) zu.

Ein typisches Beispiel für eine zweistellige Relation ist

 ,

eine zweistellige Relation auf den natürlichen Zahlen  , die man üblicher Weise mit   bezeichnet. Statt   schreibt man  . Auch für beliebige zweistellige Relationen   wird   der besseren Lesbarkeit wegen gern als   wiedergegeben.

Beachtet man, dass Abbildungen spezielle Relationen sind, so decken sich die hier für Abbildungen und Relationen gegebenen Definitionen der Stelligkeit nicht. Behandelt man eine Funktion als Relation, so bedeutet das, dass man von der Funktion

 

zu ihrem Funktionsgraphen

 

übergeht, und das ist eine  -stellige Relation.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Leeres kartesischen Produkt,   ist als 0-Tupel aufgefasst, im Zusammenhang mit Zeichenketten (Wörtern) spricht man auch von dem leeren Wort, in Zeichen oft  .
  2. statt die natürlichen Zahlen lediglich als ein Abstraktum aufzufassen, dass die Peano-Axiome erfüllt.