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Potenzmenge

Menge aller Teilmengen einer Grundmenge
Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

DefinitionBearbeiten

Die Potenzmenge   einer Menge   ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen   von   besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

 .

Dabei ist zu beachten, dass sowohl die leere Menge   als auch die Menge   selbst Teilmengen von   sind. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind   und  .

BeispieleBearbeiten

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Strukturen auf der PotenzmengeBearbeiten

Partielle OrdnungBearbeiten

Die Inklusionsrelation   ist eine Halbordnung auf   (und keine Totalordnung, wenn   mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist  , das größte Element ist  .

Vollständiger VerbandBearbeiten

Die Halbordnung   ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von   ein Infimum und ein Supremum (in  ) gibt. Konkret ist für eine Menge   das Infimum von   gleich dem Durchschnitt der Elemente von  , und das Supremum von   ist gleich der Vereinigung der Elemente von  , also

 

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

 

Boolescher VerbandBearbeiten

Zieht man noch die Komplementabbildung   heran, ist   ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer RingBearbeiten

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf   ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und   ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische FunktionenBearbeiten

Jeder Teilmenge   kann man die charakteristische Funktion   zuordnen, wobei gilt

 

Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen   und   (wobei die Notation   für die Menge aller Funktionen von   nach   benutzt wird). Dies motiviert für   auch die Schreibweise  , denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist   (allgemein:  ).

Die Korrespondenz   ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)Bearbeiten

  bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge  .

  • Für endliche Mengen   gilt:  .
  • Stets gilt der Satz von Cantor:  .

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch   für die Mächtigkeit   der Potenzmenge einer unendlichen Menge  . Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen  , dass   die nach   nächstgrößere Mächtigkeit ist:  

Beschränkung auf kleinere TeilmengenBearbeiten

Mit   wird die Menge derjenigen Teilmengen von   bezeichnet, die weniger als   Elemente enthalten. Beispielsweise ist  : Die Menge   selbst fehlt, da sie nicht weniger als   Elemente hat.

PotenzklasseBearbeiten

Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation   stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

SonstigesBearbeiten

  • Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
  • Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge   ist eine Teilmenge der Potenzmenge  , also ein Element von  .

LiteraturBearbeiten

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge – Lern- und Lehrmaterialien
 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien
 Wiktionary: Potenzmenge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen