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Ordnungsrelation

Eigenschaft jeweils zweier Elemente einer Menge
(Weitergeleitet von Halbordnung)

In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

auf einer Menge mit bestimmten unten aufgeführten Eigenschaften, worunter immer die Transitivität ist.

Ist eine Menge mit einer Ordnungsrelation gegeben, dann nennt man das Paar eine geordnete Menge. Meist bevorzugt man an Stelle der Schreibweise die sogenannte Infix-Notation . Außerdem wird für Ordnungsrelationen in den seltensten Fällen ein Symbol wie verwendet. Stattdessen verwendet man häufig das Symbol oder oder ähnliche Symbole. Die Schreibweise verwendet man als Abkürzung für „ und “. Dies erweist sich als zweckmäßig, da für Relationen größtenteils Rechenregeln gelten, die denen in (mit gewohntem „“) entsprechen.

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften siehe transitiv, reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, oder den Artikel Relation (Mathematik).

Inhaltsverzeichnis

TotalordnungBearbeiten

Eine Relation   auf einer Menge   wird (schwache) Totalordnung oder totale Ordnung oder einfach (schwache) Ordnung genannt, wenn die Forderungen

  •  
(Reflexivität)
  •  
(Antisymmetrie)
  •  
(Transitivität)
  •  
(Totalität)

für alle   erfüllt sind. Da dies bei der Zahlengeraden, der „Linie“, der Fall ist, wird eine Totalordnung auch lineare Ordnung genannt. Ferner gibt es für totalgeordnete Untermengen von partiell geordneten Mengen die Bezeichnung Kette.

Die durch

 

definierte Umkehrrelation   einer Totalordnung   ist selbst eine Totalordnung. Bei Umkehrrelationen wird gerne das gespiegelte Symbol als Relationszeichen genommen, in diesem Fall   statt  , also

 .

Im Fall der totalen (Quasi-)Ordnungen hat dies eine besondere Berechtigung, weil bei ihnen die inverse Relation eine Spiegelung ist.

Eine endliche Untermenge einer totalgeordneten Menge lässt sich gemäß dieser Ordnung in eindeutiger Weise sortieren, das heißt in eine („lineare“) Reihenfolge bringen derart, dass jedes Element mit seinem Folgeelement in der Ordnungsbeziehung steht. Solchermaßen geordnet nennt man die Sortierung aufsteigend. Gilt stattdessen zwischen zwei Nachbarelementen die gespiegelte Ordnungsrelation, nennt man die Sortierung absteigend. Der schwächere Begriff der totalen Quasiordnung (siehe unten) erlaubt das Vorhandensein von „Duplikaten“, also eine nicht eindeutige Sortierung.

Beispiel und Gegenbeispiel:

Ein Beispiel ist die Relation   („kleinergleich“) auf den ganzen Zahlen  .

Ein Gegenbeispiel ist die Teilmengenbeziehung   auf der Potenzmenge von  : sie ist nicht total, denn es gilt weder   noch  .

Strenge TotalordnungBearbeiten

Eine Relation   auf   heißt strenge (oder auch starke) Totalordnung, wenn

  •  
(Transitivität)
  • entweder   oder   oder  
(Trichotomie)

für alle   gilt.

Da eine strenge Totalordnung nicht reflexiv ist, ist sie keine Totalordnung. Eine Totalordnung im oben erklärten schwachen Sinn ist aber die zu   gehörige Ordnung (mit Reflexivität und Antisymmetrie), die durch

 

definiert ist. Umgekehrt wird aus jeder (schwachen) Totalordnung   auf   per

 

eine strenge Totalordnung   .

QuasiordnungBearbeiten

Eine Quasiordnung ist eine transitive und reflexive Relation.

Beispiel:

Für komplexe Zahlen   ist die über den Absolutbetrag durch „ “ festgelegte Relation eine Quasiordnung.

Diese Quasiordnung ist nicht antisymmetrisch – also keine Halbordnung, denn betragsgleiche Zahlen müssen nicht identisch sein.

Jedoch handelt es sich um eine totale Quasiordnung, da je zwei Elemente vergleichbar sind.

HalbordnungBearbeiten

Eine Halbordnung – auch Partialordnung, Teilordnung oder partielle Ordnung genannt – ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation, bei der also

  •  
(Reflexivität)
  •  
(Antisymmetrie)
  •  
(Transitivität)

für alle   erfüllt sind. Die Umkehrrelation einer Halbordnung

  •  

ist wiederum eine Halbordnung.

Halbordnungen können in Hasse-Diagrammen visualisiert werden. Eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge heißt Oberhalbmenge, wenn sie zu jedem ihrer Elemente auch alle nachfolgenden Elemente (also alle, die rechts vom Relationssymbol stehen könnten) enthält.

Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man beweisen, dass jede Halbordnung in eine Totalordnung eingebettet werden kann. Für endliche Mengen muss man das Auswahlaxiom nicht voraussetzen, und in diesem Fall gibt es zur Konstruktion einer solchen Totalordnung auch explizite Algorithmen (siehe Topologische Sortierung).

Beispiele:

Jede Teilmengenbeziehung   auf einem System   von Mengen ist eine Halbordnung, denn sie ist

  • transitiv, da die Teilmenge einer Teilmenge von   auch Teilmenge von   ist:
  für alle  
  • reflexiv, da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist:
  für alle  
  • und antisymmetrisch, da nur   selbst sowohl Teilmenge als auch Obermenge von   ist:
  für alle  

Weitere Beispiele sind die Relation komponentenweise-kleiner-oder-gleich in einem Raum von n-Tupeln und die Teilerbeziehung zwischen den natürlichen Zahlen, die wie folgt definiert sind:

  1. komponentenweise-kleiner-oder-gleich,   Für eine fest gewählte natürliche Zahl   und zwei Tupel aus einer Menge   von  -Tupeln gilt:
      für jedes  
  2. Dies ist ein Spezialfall einer von einem Kegel induzierten Halbordnung, die zu dem Begriff der sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen führt, die eine wichtige Rolle in der Optimierung spielen.
  3. Teilerbeziehung,   Für zwei natürliche Zahlen gilt:
     

Strenge HalbordnungBearbeiten

So wie sich die strenge Totalordnung von der Totalordnung dadurch unterscheidet, dass Reflexivität und Antisymmetrie durch Irreflexivität ersetzt werden, so wird eine strenge Halbordnung durch Irreflexivität und Transitivität bestimmt. Wie bei der strengen Totalordnung fällt bei der strengen Halbordnung der Gleichheitsstrich in der Notation weg oder wird gar durch ein Ungleichzeichen ersetzt. Ein Beispiel ist die Relation "echte Teilmenge" bei den Mengen.

Weitere Anwendung der HalbordnungBearbeiten

Um den Grad der Vorsortiertheit einer Menge zu messen, kann man die Anzahl der möglichen Fortsetzungen einer Halbordnung zu einer linearen Ordnung angeben. Ist beispielsweise die geordnete Menge   mit   und   gegeben, so gibt es drei mögliche Fortsetzungen:  ,   und  . Der Grad der Vorsortiertheit ist also in diesem Fall  . Das Sortierverfahren Natural Mergesort nutzt vorsortierte Teilstücke für eine vollständige Sortierung der Menge.

Vorgänger und NachfolgerBearbeiten

Sei   eine (schwache) totale (oder partielle) Ordnung auf der Menge  . Für   mit

 

heißt   ein Vorgänger von  , und   ein Nachfolger von  . Wenn es kein   gibt, mit

 ,

dann heißt   der direkte (auch unmittelbare) Vorgänger von  , und   der direkte (bzw. unmittelbare) Vorgänger von  . [1]

Für eine starke (gleichbedeutend: strikte) totale (oder partielle) Ordnung   auf   gilt formal ebenfalls die obige Definition (mit Notation   anstelle von  ). [1] Die Kriterien können in diesem Fall jedoch wie folgt vereinfacht werden:

Sei   auf der Menge  . Für   mit

 

heißt   ein Vorgänger von  , und   ein Nachfolger von  . Wenn es kein   gibt, mit

  (d. h.  ),

dann heißt   der direkte (auch unmittelbare) Vorgänger von  , und   der direkte (bzw. unmittelbare) Vorgänger von  .

Minimale, maximale und andere ElementeBearbeiten

Sei   eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge  .

Wenn   die Eigenschaft hat, dass es kein   mit   gibt, dann heißt   minimales Element von  . Falls es ein Element   gibt, das   allen anderen Elementen von   ist, dann heißt   das kleinste Element von  . Ein kleinstes Element von   (wenn es das gibt; z. B. hat die Menge der ganzen Zahlen kein kleinstes Element) ist immer eindeutig bestimmt (wegen der Antisymmetrie) und natürlich auch minimal. In einer Totalordnung bedeutet „kleinstes Element“ und „minimales Element“ dasselbe, aber in allgemeinen Halbordnungen kann eine Menge mehrere minimale Elemente haben, von denen dann keines das kleinste ist.

Es kann sogar vorkommen, dass eine (unendliche) Menge   zwar ein einziges minimales Element hat, dieses aber nicht das kleinste Element der Menge ist (dann hat   kein kleinstes Element). Beispiel:

Für  , versehen mit   als Halbordnung, ist   zwar das einzige minimale Element, aber nicht das kleinste, da   nicht für alle   aus   gilt.

Wenn   eine Teilmenge von   ist und   die Eigenschaft hat, dass für alle   die Beziehung   gilt, dann heißt   eine untere Schranke von  . (  kann, muss aber nicht Element von   sein.) Wenn es eine größte untere Schranke der Menge   gibt, dann nennt man diese auch die untere Grenze oder das Infimum von  . Eine untere Schranke ist also kleiner als das oder gleich dem Infimum.

Analog sind die Begriffe maximales Element, größtes Element, obere Schranke und obere Grenze bzw. Supremum definiert.

Eine Menge, die sowohl eine obere als auch eine untere Schranke hat, heißt beschränkt. (Analog sind „nach oben beschränkt“ und „nach unten beschränkt“ definiert.)

Man nennt eine Funktion  , die eine beliebige Menge   in eine halb- oder total geordnete Menge (siehe unten)   abbildet, beschränkt, wenn die Menge der Funktionswerte beschränkt ist, also wenn es ein   und ein   gibt, sodass für alle  

 

gilt.

Lokal endliche HalbordnungBearbeiten

Eine Halbordnung   heißt lokal endlich, wenn jedes Intervall   eine endliche Menge ist.

StriktordnungBearbeiten

Eine strenge Ordnung oder Striktordnung ist transitiv und asymmetrisch. Der Begriff Asymmetrie fasst die Begriffe Irreflexivität und Antisymmetrie zusammen. Irreflexivität unterscheidet die Striktordnung von der Halbordnung und bedeutet, dass kein Element zu sich selbst in Beziehung steht. Eine Striktordnung ist also transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch

Beispiele:

  • Die Relation „(echt) kleiner“ auf  
  • die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge
  • die Relation „komponentenweise kleiner, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum  .

Strenge schwache OrdnungBearbeiten

Eine strenge schwache Ordnung R ist eine Striktordnung, bei der zusätzlich negative Transitivität gilt:

 

Eine strenge schwache Ordnung ist einer totalen Quasiordnung komplementär und umgekehrt.

Induktive OrdnungBearbeiten

Eine halbgeordnete Menge   heißt induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge von   eine obere Schranke besitzt. Sie heißt streng induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge eine kleinste obere Schranke besitzt.

Nach dem Lemma von Zorn besitzt jede induktiv geordnete Menge ein maximales Element.

Fundierte OrdnungBearbeiten

Eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung, in der es keine unendlichen, echt absteigenden Ketten gibt (oder, äquivalent formuliert: bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt). Beispiel: Die Teilbarkeitsbeziehung | zwischen natürlichen Zahlen.

WohlquasiordnungBearbeiten

Eine Wohlquasiordnung ist eine Quasiordnung mit der Eigenschaft, dass es zu jeder Folge   zwei natürliche Zahlen   gibt, so dass   gilt.

WohlordnungBearbeiten

Eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Einige Beispiele:

  • „Kleinergleich“ auf den natürlichen Zahlen  .
  • Die ganzen Zahlen   mit der Ordnung  
  • Die ganzen Zahlen   mit der Ordnung  

Der Wohlordnungssatz garantiert die Existenz einer Wohlordnung für jede Menge, zum Beispiel auch für die reellen Zahlen  . Er ist zum Auswahlaxiom äquivalent.

BaumBearbeiten

Ein Baum ist eine Halbordnung  , bei der für jedes   die Menge   der Vorgänger von   wohlgeordnet ist.

VerbandsordnungBearbeiten

Eine Verbandsordnung ist eine Halbordnung, in der es zu je zwei Elementen   und   immer ein Supremum   und ein Infimum   gibt.

Durch jede Verbandsordnung ist die algebraische Struktur eines Verbandes gegeben, indem man für je zwei Elemente   und   definiert:

  •  
  •  

Umgekehrt lässt sich in jedem Verband durch

  •  

für je zwei Elemente   und   eine Verbandsordnung definieren, so dass

  •  
  •  

Eine verbandsgeordnete Menge wird daher oft „Verband“ genannt, sie selbst ist jedoch im Gegensatz zum Verband keine algebraische Struktur.

Vollständige HalbordnungBearbeiten

Eine vollständige Halbordnung (engl. pointed complete partial order, dcpo, cppo, auch cpo) ist eine Halbordnung mit einem kleinsten Element und der Eigenschaft, dass jede Teilmenge, die eine aufsteigende Kette   bildet, ein Supremum besitzt. Das Supremum muss dabei nicht in der Teilmenge selbst liegen.

Bei einer gerichteten vollständigen Halbordnung (engl. directed complete partial order, DCPO) muss im Gegensatz zur vollständigen Halbordnung die leere Menge kein Supremum besitzen. Es muss damit kein kleinstes Element geben.

Diese beiden Vollständigkeitsbegriffe spielen eine Rolle bei Beweisen mit Hilfe des Lemmas von Zorn. → Davon zu unterscheiden ist der an die Topologie angelehnte Begriff Ordnungsvollständigkeit.

HomomorphismenBearbeiten

Seien   und   geordnete Mengen. Eine Abbildung   heißt isoton, ordnungserhaltend, ordnungstreu oder Ordnungshomomorphismus, wenn   für alle   gilt.

Verwendung der BegriffeBearbeiten

Die Autoren benutzen den Begriff „Ordnung“ unterschiedlich. Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Vermutlich induziert von den Polaritäten „halb“ und „total“, findet man somit häufig die Abgrenzung

Ordnung (im Sinn von Halbordnung)   totale Ordnung

oder auch

Halbordnung   Ordnung (im Sinn von totale Ordnung).

Siehe auchBearbeiten

  • Eine Ordnungsrelation auf einer Menge von Güterbündeln heißt in der Mikroökonomie Präferenzrelation.
  • In der Algebra werden (meist totale) Ordnungsrelationen auf einer Menge betrachtet, die mit der Verknüpfung bzw. den Verknüpfungen auf dieser Menge verträglich sind. Siehe als Beispiel Geordneter Körper.
  • In der Geometrie lassen sich unter bestimmten Bedingungen Anordnungen der Punkte auf jeder Geraden einführen. Man spricht hier zunächst von Zwischenrelationen (dies sind dreistellige Relationen), aus denen sich in wichtigen Spezialfällen totale, miteinander und mit der geometrischen Struktur verträgliche Ordnungen auf diesen Punktreihen ergeben.
  • Jede totalgeordnete Menge lässt sich mit einer durch die Ordnung bestimmten topologischen Struktur, der Ordnungstopologie ausstatten.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b W. Petersen WS 2001/12 S. 93, WS 2013/14 S. 90. Die Begriffe werden oft auch für andere Relationen   anstelle der hier aufgeführten (schwachen   bzw. starken  ) (Teil-)Ordnungsrelationen verwendet.
    Achtung: Manche Autoren bezeichnen nur die unmittelbaren (d. h. direkten) Vorgänger (bzw. Nachfolger) als Vorgänger (respektive Nachfolger).
    Was oben als Vorgänger/Nachfolger definiert ist, wäre dann ein Vorgänger bzw. Nachfolger im weiteren Sinn. Ein solcher muss aber nicht zwangsläufig über eine Sequenz direkter (d. h. unmittelbarer) Vorgänger bzw. Nachfolger (quasi indirekt oder mittelbar) erreichbar sein, z. B. 0 und 1 auf   oder  .

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. 2., durchgesehene und korrigierte Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-658-00618-1.
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9.
  • Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Bd. 7). Springer, New York NY 2005, ISBN 0-387-24219-8.
  • Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.
  • Wiebke Petersen: Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik – Ordnungsrelationen, 4. Foliensatz, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, Institute of Language and Information, PDF: WS 2011/12 WS 2013/14, abgerufen am 21. April 2018.