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Verband (Mathematik)

Struktur in der Mathematik

Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann. Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen , ein Supremum gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich und ist, und umgekehrt ein Infimum , ein größtes Element, das kleiner oder gleich und ist. Als algebraische Struktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zwei assoziative und kommutative Operationen gibt, für die die Absorptionsgesetze kennzeichnend sind: Für beliebige Elemente gilt

  und   .

Für jede in der Verbandstheorie vorkommende algebraische Aussage gibt es eine direkte Übersetzung in eine Ordnungsaussage und umgekehrt. Diese Übersetzung ist in den meisten Fällen auch anschaulich nachzuvollziehen. Die Möglichkeit, Ergebnisse doppelt zu interpretieren und dadurch besser zu verstehen, macht die Untersuchung und die Verwendung von Aussagen aus der Verbandstheorie so interessant. Der Begriff Verband wurde im hier beschriebenen Sinne von Fritz Klein-Barmen geprägt.[1]

Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf:

In der Literatur sind auch die Symbole und anstelle von und verbreitet. Diese Notation wird hier aufgrund von technischen Einschränkungen allerdings nicht verwendet.

In einer früher üblichen Terminologie wurde ein Verband (nach Richard Dedekind) auch als Dualgruppe bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

PräzisierungBearbeiten

Verbände als algebraische StrukturenBearbeiten

Ein Verband   ist eine Menge   mit zwei inneren binären Verknüpfungen   (Vereinigung, engl. join) und   (Durchschnitt, engl. meet), die folgenden Bedingungen für alle  ,  ,   aus   genügen:

Assoziativgesetze:

  •  ,
  •  .

Kommutativgesetze:

  •  ,
  •  .

Absorptionsgesetze:

  •  ,
  •  .

Aus diesen Bedingungen folgt die Idempotenz beider Verknüpfungen:

  •  ,
  •  .

  ist also bezüglich jeder einzelnen Verknüpfung ein Halbverband, d. h. eine kommutative Halbgruppe, in der jedes Element idempotent ist. Die Verknüpfungen treten bei den Absorptionsgesetzen in Wechselwirkung.

Verbände als OrdnungsstrukturenBearbeiten

Man kann nach einer Idee von Leibniz auf   eine Halbordnung definieren durch:

  •  

Mit dem Absorptionsgesetz erkennt man die Gültigkeit der Äquivalenzen

  •  

Bezüglich dieser Halbordnung hat jede zweielementige Teilmenge   ein Supremum (obere Grenze)   und ein Infimum (untere Grenze)  . Dabei ist ein Element   ein Supremum von  , wenn gilt:

  •   und   (d. h.   ist obere Schranke).
  • Aus   und   folgt   (d. h.   ist die kleinste obere Schranke).

Analoges gilt für das Infimum  . Man kann per Induktion zeigen, dass jede nichtleere endliche Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat. Man schreibt allgemein das Supremum einer Menge   als  , und das Infimum von   als  , falls diese existieren.

Umgekehrt kann man für eine halbgeordnete Menge, bei der jede zweielementige Teilmenge ein Infimum und ein Supremum hat, definieren:

  •     und    .

Die beiden Verknüpfungen erfüllen dann die Verbandsaxiome, wie man leicht nachrechnet.

Hasse-Diagramme für einige BeispieleBearbeiten

Eine endliche halbgeordnete Menge   kann man durch einen gerichteten Graphen darstellen, den man Hasse-Diagramm nennt.

Wenn man den Graph so anordnet, dass alle Kanten von unten nach oben gerichtet sind, dann kann man die Ordnung leicht sehen:

  ist dann gleichwertig mit:   ist durch einen (nach oben führenden) Kantenzug mit   verbunden.
Hasse-Diagramme für einige Verbände
Verband der Teilmengen von {x,y,z} (eine Boolesche Algebra)
Verband der Teiler von 60
Partitionen der Menge {1,2,3,4}, durch gröber = geordnet
Verband, der nicht distributiv, aber orthokomplementierbar ist
Die Menge der natürlichen Zahlen: Total geordnete Mengen sind Verbände
Diagramme, die keine Verbände darstellen
kein Verband, da c⊔d nicht existiert
kein Verband, da b⊔c nicht existiert (d und e sind zwar beide minimal größer, aber keins von beiden ist kleinstes der größeren Elemente)


Spezielle Elemente in VerbändenBearbeiten

Neutrale ElementeBearbeiten

Falls die Verknüpfung   ein neutrales Element   hat,

 

dann ist es eindeutig bestimmt und man nennt es das Nullelement des Verbandes. Bzgl.   ist   absorbierend und bzgl. der Ordnung das kleinste Element:

  und    

Man nennt den Verband dann nach unten beschränkt.

Falls die Verknüpfung   ein neutrales Element   hat,

 

dann ist es eindeutig bestimmt und man nennt es das Einselement des Verbandes. Bzgl.   ist   absorbierend und bzgl. der Ordnung das größte Element:

  und    

Man nennt den Verband dann nach oben beschränkt.

Ein Verband heißt beschränkt, wenn er nach unten und nach oben beschränkt ist, also für beide Verknüpfungen ein neutrales Element hat.

Komplementäre ElementeBearbeiten

Für ein gegebenes Element   eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element   mit der Eigenschaft

  •   und  

ein Komplement von  .

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißt komplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Element mehrere komplementäre Elemente geben.

Es gilt aber: In einem distributiven beschränkten Verband ist das Komplement eines Elements   im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Man schreibt es oft als   (vor allem bei Teilmengenverbänden),   (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder  .

In jedem beschränkten Verband gilt

  •  .

In einem distributiven beschränkten Verband gilt: Falls   ein Komplement   hat, dann hat auch   ein Komplement, nämlich:

  •  .

Spezielle VerbändeBearbeiten

Modulare VerbändeBearbeiten

 
 , der minimale nicht-modulare Verband

Ein Verband   heißt modular, falls gilt:

  •   für alle  .

Für einen Verband   sind wiederum jeweils äquivalent:

  •   ist modular.
  •   für alle  .
  •   für alle  .
  •   für alle  .

Ein nicht modularer Verband enthält immer den Verband   als Unterverband.[2]

Distributive VerbändeBearbeiten

 
 , der minimale modulare, nicht-distributive Verband

Im Folgenden meinen wir mit dem Verband   stets den Verband  .

Ein Verband   heißt distributiv, wenn die Verknüpfungen in doppelter Hinsicht distributiv sind:

  •   für alle   und
  •   für alle  .

Da diese beiden Aussagen zueinander äquivalent sind, genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu verlangen.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt. Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband  , den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe als Unterverband.[3]

Dies ergibt den Test: hat ein Verband weder einen Unterverband der Form   noch einen der Form  , dann ist er distributiv.

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn Birkhoff (1933) und Stone (1936) haben gezeigt:

Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengenverband ist.[4]

Boolesche AlgebrenBearbeiten

Ein distributiver komplementärer Verband heißt Boolesche Algebra oder Boolescher Verband;

Eine weitere Verallgemeinerung, bei der statt Komplementen nur relative Pseudokomplemente gefordert werden, heißt Heyting-Algebra.

Vollständige VerbändeBearbeiten

Ein Verband   heißt vollständig, wenn jede (auch die leere ebenso wie gegebenenfalls unendliche) Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat.

Es genügt, für jede Teilmenge   die Existenz des Supremums zu verlangen, denn es ist

  •    

Jeder vollständige Verband   ist beschränkt mit

  •     und    

Jeder endliche, nichtleere Verband   ist vollständig, also auch beschränkt.

Längenendliche VerbändeBearbeiten

Wenn jede bezüglich der Ordnung totalgeordnete Teilmenge (Kette) endlich ist, nennt man den Verband längenendlich.[5] Für viele Beweise innerhalb der Verbandstheorie muss ein Verband nicht endlich sein, sondern es reicht, wenn er längenendlich ist.

Kompakte Elemente und algebraische VerbändeBearbeiten

Man nennt ein Element   eines vollständigen Verbandes   kompakt (nach der verwandten Eigenschaft kompakter Räume in der Topologie), wenn jede Teilmenge   von   mit

  •  

eine endliche Teilmenge   enthält, für die gilt:

  •  

Ein Verband   heißt algebraisch, wenn er vollständig ist und wenn jedes Element von   das Supremum von kompakten Elementen ist.

Dualität in VerbändenBearbeiten

 
Die beiden Verbände sind dual zueinander (aber offensichtlich nicht isomorph).

Vertauscht man in einem Verband   die beiden Verknüpfungen   und  , erhält man eine neue Struktur  . Man nennt   die duale Struktur.

Ersetzt man in einer beliebigen Formel   der Sprache der Verbandstheorie und setzt überall die beiden Zeichen   und   wechselseitig füreinander ein und ersetzt außerdem überall 0 durch 1 und umgekehrt, dann nennt man die entstandene Formel   die duale Formel von  .

Offensichtlich gelten in dem zu   dualen Verband   die dualen zu den in   gültigen Formeln. Da in der Definition eines Verbands zu jeder Formel auch die duale Formel vorkommt, folgt, dass   ebenfalls ein Verband ist, der als der zu   duale Verband bezeichnet wird.

Aus dieser Beobachtung folgt:

  • Gilt eine Formel in allen Verbänden, dann gilt auch ihre duale Formel in allen Verbänden.

Das Modularitätsgesetz ist selbstdual und die beiden Distributiv-Gesetze sind zueinander dual und die beiden Komplementärgesetze sind zueinander dual. Daher gilt entsprechend:

  • Gilt eine Formel in allen modularen oder in allen distributiven Verbänden oder in allen Booleschen Algebren, dann gilt auch die duale Formel in den entsprechenden Verbänden.

UnterstrukturenBearbeiten

UnterverbändeBearbeiten

Ein Unterverband von   ist eine Teilmenge  , die mit den eingeschränkten Verknüpfungen von   ein Verband ist, d. h. es liegen

  •   und   in   für alle   aus  

TeilverbändeBearbeiten

Ein Teilverband von   ist eine Teilmenge  , die ein Verband ist, d. h.   ist eine halbgeordnete Menge mit Supremum und Infimum für endliche Teilmengen.

Natürlich ist jeder Unterverband ein Teilverband, aber nicht umgekehrt.

Hier ist eine der wenigen Stellen, wo man den Unterschied in der Betrachtungsweise merkt: Für Verbände als Ordnungsstrukturen sind alle Teilverbände Unterstrukturen, für Verbände als algebraische Strukturen sind nur die Unterverbände Unterstrukturen.

Man geht weder bei Teilverbänden noch bei Unterverbänden davon aus, dass die neutralen Elemente in der Unterstruktur erhalten bleiben. Sonst muss man ausdrücklich von einem Verband mit   und   reden.

Ideale und FilterBearbeiten

Ein Ideal   ist ein Unterverband eines Verbandes  , der zusätzlich folgende Bedingung erfüllt: sind   und  , dann ist  . (Die Definition entspricht also formal der Definition, die man in einem Ring erwartet).

Bezüglich der Halbordnung auf   gilt aber  . Daher kann man die Definition auch so interpretieren:

Ein Ideal ist ein Unterverband, der zusammen mit einem Element   auch alle Elemente von   enthält, die kleiner als   sind.

Filter werden dual zu Idealen definiert:

Ein Filter ist ein Unterverband, der zusammen mit einem Element   auch alle Elemente von   enthält, die größer als   sind.

HomomorphismenBearbeiten

 
Die Funktion   ist monoton aber kein Homomorphismus; zum Beispiel ist die hier dargestellte monotone Abbildung   zwischen den Verbänden   und   kein Homomorphismus, da  , aber  . Außerdem ist aus demselben Grund das Bild   zwar ein Verband (mit  ), aber kein Unterverband von  .

Sind   und   zwei Verbände und   eine Funktion, sodass für alle   aus   gilt

  •  
  •  

dann heißt   Verbandshomomorphismus. Ist   zusätzlich bijektiv, dann heißt   Verbandsisomorphismus und die Verbände   und   sind isomorph.

Falls   und   vollständig sind und   sogar

  •  
  •  

für alle   erfüllt, nennt man   einen vollständigen Verbandshomomorphismus. Jeder vollständige Verbandshomomorphismus ist offensichtlich auch ein Verbandshomomorphismus.

Die Klasse aller Verbände bildet mit diesen Homomorphismen jeweils eine Kategorie.

Ein Verbandshomomorphismus ist gleichzeitig ein Ordnungshomomorphismus, d. h. eine isotone Abbildung:

  • aus   folgt  

Jedoch ist nicht jede isotone Abbildung zwischen Verbänden ein Verbandshomomorphismus.

In beschränkten Verbänden gilt: Die Menge der Elemente von   die durch einen Verbandshomomorphismus auf das Nullelement des Bildes abgebildet werden, bilden ein Ideal von   und dual, die Menge der Elemente, die auf das Einselement abgebildet werden, bilden einen Filter.

Weitere Beispiele für VerbändeBearbeiten

Total geordnete MengenBearbeiten

Jede total geordnete Menge   ist ein distributiver Verband mit den Verknüpfungen Maximum und Minimum. Insbesondere gilt für alle  ,  ,   aus  :

  •  ,
  •  .

Nur im Fall einer ein- oder zweielementigen Menge   ist der Verband komplementär.

Beispiele für die übrigen Eigenschaften:

  • Das abgeschlossene reelle Intervall   und die erweiterte reelle Gerade (  mit   und  ) sind jeweils vollständige distributive Verbände (und damit beschränkt).
  • Das offene reelle Intervall  , die Mengen  ,   und   sind jeweils unvollständige unbeschränkte distributive Verbände.
  • Das rationale Intervall   ist ein unvollständiger beschränkter distributiver Verband.
  • Die Menge   ist ein unvollständiger distributiver Verband mit Nullelement  .

TeilerverbändeBearbeiten

Betrachtet man für eine natürliche Zahl   die Menge   aller Teiler von  , dann ist   ein vollständiger distributiver Verband mit Einselement   (neutralem Element für ggT) und Nullelement   (neutralem Element für kgV). Er heißt Teilerverband von  . Die Absorptionsgesetze und Distributivgesetze für ggT und kgV folgen dabei z. B. mit der Primfaktorzerlegung aus den Eigenschaften von max und min, man kann sie aber auch durch Teilbarkeitsbetrachtungen herleiten. Der Verband ist genau dann komplementär (und damit boolesch), wenn   quadratfrei ist, d. h. wenn   keine Quadratzahl   als Teiler hat. Die Halbordnung auf   ist die Teiler-Relation:

  •   genau dann, wenn   (genau dann, wenn  ).
Beispiele für Teilerverbände
T2 ist Boolesche Algebra (und lineare Ordnung)
T4 ist lineare Ordnung
T6 ist eine Boolesche Algebra
T12 ist nicht komplementär
T30 ist eine Boolesche Algebra
 
  ist beschränkt und distributiv, aber nicht komplementär. Jeder Teilerverband ist als Unterverband enthalten

TeilmengenverbändeBearbeiten

Für eine Menge   bildet die Potenzmenge   mit den Verknüpfungen Vereinigung   und Durchschnitt   einen algebraischen booleschen Verband mit Nullelement   (neutrales Element bezüglich  ) und Einselement   (neutrales Element bezüglich  ) sowie Komplement   für alle  . Er heißt Potenzmengen- oder Teilmengenverband von  . Die Halbordnung auf   ist die Mengeninklusion:

  •   falls   (oder äquivalent dazu  )

(Trägermengen von) Unterverbände(n) von   heißen Mengenverbände (zwischen den Verbänden und ihren Trägermengen wird oft nicht unterschieden). Diese Verbände sind immer distributiv, müssen jedoch weder vollständig sein, noch neutrale Elemente oder Komplemente haben. (Ein Beispiel dafür ist der Verband der rechts-unendlichen reellen Intervalle   mit   aus  , der isomorph zum Verband der reellen Zahlen ist.)

Unterstrukturenverbände von algebraischen Strukturen, UntergruppenverbändeBearbeiten

Für eine Gruppe   bildet die Menge   aller Untergruppen von   einen algebraischen (im Allgemeinen nicht modularen und damit auch nicht distributiven) Verband mit den Verknüpfungen Erzeugnis der Vereinigung und Durchschnitt. Er heißt Untergruppenverband von  .

Beispielsweise ist der Untergruppenverband der kleinschen Vierergruppe, der gerade dem Verband   entspricht, nicht-distributiv, aber modular.

Ebenso bilden

mit analogen Verknüpfungen einen modularen algebraischen Verband. Die Untergruppen einer beliebigen Gruppe und die Unterverbände eines beliebigen Verbands ergeben zwar immer einen algebraischen Verband, dieser muss aber nicht modular sein.

Ganz allgemein bilden die Unterstrukturen einer algebraischen Struktur stets einen algebraischen Verband (wobei auch die leere Menge als Unterstruktur betrachtet wird, falls der mengentheoretische Durchschnitt – also das Infimum bezüglich der Mengeninklusion – von der Menge aller Unterstrukturen leer ist).

Insbesondere ist ein Verband genau dann algebraisch, wenn er isomorph ist zum Verband der Unterstrukturen einer algebraischen Struktur (daher auch der Name algebraischer Verband).

Schränkt man die Menge der Untergruppen auf Obergruppen einer festen Untergruppe   ein, so bilden alle diese Zwischengruppen   auch einen beschränkten Verband. Analog dazu gibt es Verbände von Zwischenringen, Zwischenkörpern, Zwischenmoduln, Zwischenidealen.

Besonderes Interesse hat man am Untergruppenverband der Galoisgruppe einer galoisschen Körpererweiterung  , denn er ist isomorph zum dualen Zwischenkörperverband von  .

LiteraturBearbeiten

  • Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. 2. Auflage. Springer+Vieweg, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-658-00618-1.
  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  • Hilda Draškovičová: Ordered Sets and Lattices. AMS, 1992, ISBN 0-8218-3121-6.
  • Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1967.
  • Heinz Liermann: Verbandsstrukturen im Mathematikunterricht. Diesterweg Salle, Frankfurt a. M. 1971, ISBN 3-425-05317-5.
  • Gábor Szász: Einführung in die Verbandstheorie. Akademiai Kiado, Budapest 1962.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Verband – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Leo Corry: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Springer, 2004, ISBN 3-7643-7002-5, S. 267
  2. H.Gericke, Theorie der Verbände. 2. Auflage. Mannheim 1967, S. 76 (Figur dazu auf S. 70)
  3. H.Gericke, Theorie der Verbände. 2. Auflage. Mannheim 1967, S. 111
  4. G.Grätzer, Lattice Theory, 1971, S. 75
  5. Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, § 6.2