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Abelsche Gruppe

Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt
Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

ist Spezialfall von

Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.

Der mathematische Begriff abelsche Gruppe, auch kommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen. Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens und des Multiplikationszeichens abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Menge. Jedem Paar   sei genau ein Element   zugeordnet. Das Paar   heißt abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung   die folgenden Gesetze erfüllt:

  1. Assoziativgesetz:     Für alle   gilt:  .
  2. Kommutativgesetz:  Für alle   gilt:  .
  3. Neutrales Element:  Es gibt ein Element  , so dass für alle   gilt:  .
  4. Inverses Element:    Zu jedem   gibt es ein   mit  .[1]

Eine Gruppe   heißt nichtabelsch, wenn in ihr mindestens ein Paar   existiert mit  .

ErläuterungenBearbeiten

  • Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eine Gruppe. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
  • Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
  • Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknüpfungszeichen   geschrieben und dann ein Modul genannt. In diesem Falle heißen   die Summe von   und  , das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird   geschrieben. Das Inverse von   wird dann als dessen Entgegengesetztes mit   bezeichnet.
  • Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknüpfungszeichen   geschrieben werden. Dann heißt   oder einfach   das Produkt von   und  . In diesem Falle heißt das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird   geschrieben. Das Inverse von   bezeichnet man nun mit  .
  • In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklärt als  . Es gelten dann die Regeln:  . Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten  .

BeispieleBearbeiten

  1.   ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist   die Menge der ganzen Zahlen und   die gewöhnliche Addition.
  2.   ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist   die Menge der rationalen Zahlen ohne die   und   ist die gewöhnliche Multiplikation.
  3. Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl   kein Inverses bezüglich der Multiplikation.   lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
  4. Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.
     
    Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor   verschoben
  5. Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
  6. Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
  7. Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben. .Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen.   ist die Drehung um  ,   ist die Drehung um   und   ist die Drehung um  .
  8. Sind   abelsche Gruppen, so wird   zu einer abelschen Gruppe durch  .
  9. Ist   eine Menge und   eine abelsche Gruppe, so ist   eine Gruppe, wenn definiert wird:  . Es heißt   die  te Komponente von  . Oft wird   als Vektor geschrieben der Form  . Dabei ist  . Ist  , so ist   die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus   sind. Ist  , so ist  .
  10. Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
  11. Allgemeiner liefert jeder Körper   in derselben Weise zwei abelsche Gruppen   und  .
  12. Hingegen ist die Gruppe   der invertierbaren  -Matrizen über einem Körper   für   ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die symmetrische Gruppe S3 mit sechs Elementen.

UntergruppenBearbeiten

Eine nicht leere Teilmenge   der abelschen Gruppe   heißt Untergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle   gilt:  .[2] In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt: .

  1.   ist Untergruppe von  .
  2. Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
  3. Jede Teilmenge   ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die   enthält. Diese Untergruppe heißt die von   erzeugte Untergruppe von  . Sie wird mit   bezeichnet.
  4. Sind   Untergruppen von  , so ist die Menge   eine Untergruppe von  . Allgemeiner: Ist   eine Familie von Untergruppen, so ist   eine Untergruppe von  . Sie heißt die Summe der Untergruppen .
  5. Ist  , so ist die von   erzeugte Untergruppe  . Ist   so heißt   ein Erzeugendensystem von  .
  6. Eine abelsche Gruppe   heißt endlich erzeugt , wenn es eine endliche Teilmenge   gibt, so dass   gilt. Ist   von einem Element   erzeugt, so heißt   zyklisch. Es wird   geschrieben.
    1. Jede Untergruppe von   ist zyklisch.
    2. Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von   ist wieder zyklisch. Es gilt  . Dabei ist   der größte gemeinsamer Teiler von  . z. B.  .
    3. Sind   Untergruppen von  , dann ist  . Dabei ist   das kleinste gemeinsame Vielfache von  . Zum Beispiel  .
    4.   ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist   ein Erzeugendensystem von   und ist  , so ist auch noch   ein Erzeugendensystem.

FaktorgruppenBearbeiten

Ist   eine Untergruppe, so definiert   eine Äquivalenzrelation. Sind   und sind   so ist  . Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei   Menge der Äquivalenzklassen. Auf   wird eine Addition erklärt.

 .[3]

Wollen wir tatsächlich in   rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von   zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist  .

  • Ist   eine Untergruppe von  , so ist   zyklisch. Das heißt es gibt ein   mit  . Ist  , so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von  . Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir   voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von   durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive   genau dann, wenn sie beim Teilen durch   den gleichen Rest lassen. Es ist dann   ein Repräsentantensystem von  . Bezeichnet   der Rest, der beim Teilen von   durch   sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in   folgende 'Addition':   für  . Den Index   beim   Zeichen lässt man weg. So ergibt in   zum Beispiel  .[4]
  •   ist eine Untergruppe von  . Ein Repräsentantensystem von   ist das rechts offene Einheitsintervall  . In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen:  . Dabei ist   größte ganze Zahl  . Es ist daher für  :  
  • Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe   von   kommen etwas weiter unten zur Sprache.

HomomorphismenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sind   abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung   Homomorphismus , wenn für alle   gilt:  .[5]

Beispiele für HomomorphismenBearbeiten

  • Die Identität und die Nullabbildung   sind stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe   gibt es genau einen Morphismus  . Genauso gibt es genau einen Homomorphismus  .
  • Ist   eine Untergruppe von  , so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus.
  • Die Abbildung   ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist   so ist die Multiplikation mit  , also die Abbildung  , ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zum Distributivgesetz, welches besagt: Für alle   gilt:  . Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen   das heißt: Ist   ein Homomorphismus, so gibt es ein   mit   für alle  .
  • Ist  , so ist die Abbildung   ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe   in die multiplikative Gruppe  .
  • Die natürliche Exponentialfunktion:   ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe   bijektiv in die multiplikative Gruppe   ab. Die Umkehrabbildung ist der natürliche natürlicher Logarithmus.
  • Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eine Kategorie (Mathematik)  . Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Universelle Eigenschaft der ganzen ZahlenBearbeiten

  • Zu jeder Gruppe   und jedem   gibt es genau einen Homomorphismus   mit  . Es ist dann  , und  . Allgemein ist
 .

Es ist   eine freie abelsche Gruppe mit Basis  .

  • Es liegt nahe für   und   zu definieren:  . Es gilt dann:
  1.  . (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen   verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in  . Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in  . Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit   geschrieben.)
  2. Für alle   ist  .
  3. Für alle   und alle   ist  .
  4. Für alle   und alle   ist  .
  5. Für alle   und alle   ist  .
  • Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem  Modul. Ist   ein Homomorphismus, so ist für alle  :  .
  • Es lohnt sich die vorletzte Aussage für eine Gruppe   zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in   die  . Zu jedem beliebigen   gibt es genau einen Homomorphismus   mit  . Es ist  . Allgemein ist  . Die obigen Gesetze besagen dann:
  1. Für alle   ist  .
  2. Für alle   ist  .
  3. Für alle   ist  .
  4. Für alle   ist  . Wird für   die Menge der rationalen oder reellen Zahlen   eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.

Eigenschaften von HomomorphismenBearbeiten

Ist   ein Homomorphismus, und sind   beziehungsweise   Untergruppen, so sind   und   Untergruppen. Insbesondere sind   und   Untergruppen. Hieraus folgt:

  • Ist   eine Gruppe und   eine natürliche Zahl, so ist   und   Untergruppen von  . Dies gilt, da die Multiplikation mit   ein Homomorphismus ist.
  •   ist Untergruppe von  . Dies ist die Torisonsuntergruppe von  . Ist  , so heißt   torsionsfrei. Für jede Gruppe ist   torionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von   ist  .
  • Ist   ein Homomorphismus und ist   von   Elementen erzeugt und ist   von   Elementen erzeugt, so ist   von   Elementen erzeugt.
  • Jede Untergruppe von   ist von maximal   Elementen erzeugt.

Injektive HomomorphismenBearbeiten

  • Ist   ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung   ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt   Isomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen   und   so heißen   isomorph.
  • Ist   ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent. In diesem Fall heißt   Monomorphismus.
  1.   ist als Abbildung injektiv.
  2.  .
  3. Für alle abelschen Gruppen   und alle Homomorphismen   mit   ist  . Es ist   links kürzbar.
  • Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind   Monomorphismen, so ist   ein Monomorphismus.

Surjektive HomomorphismenBearbeiten

Ist   ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt   Epimorphismus.

  1.   ist als Abbildung surjektiv.
  2.  .
  3. Für alle Gruppen   und alle   gilt: Ist  , so ist  . Es ist   auf der rechten Seite kürzbar.
  • Ist   eine Untergruppe, so ist die Abbildung   ein Epimorphismus.
  • Die Verkettung von Epimorphsmen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind   und   Epimorphismen, so ist   ein Epimorphismus. Er heißt kanonischer Epimorphismus.
  • Sind   und   Homomorphismen und ist   ein Epimorphismus, so ist   ein Epimorphismus.

Isomorphismus, IsomorphiesätzeBearbeiten

Ein bijektiver Homomorphismus   heißt Isomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.

  • Homomorphiesatz: Sei   ein Homomorphismus.   der kanonische Epimorphismus. Dann ist   ein Monomorphismus mit  . Insbesondere ist  .[6] Es ist folgendes Diagramm kommutativ.
     
    Homomorphiesatz

Der Homomorphiesatz gilt allgemein für Gruppen.

  • Erster Isomorphiesatz: Seien   Untergruppen von  . Dann gilt:  .[7]
  • Zweiter Isomorphiesatz: Seien   Untergruppen. Dann gilt :  .[8]

Der Funktor Hom(A, –)Bearbeiten

  • Sind   Gruppen, so ist die Menge   eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch:  .
    • Es ist   für jede endlich erzeugte Gruppe  .
    • Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen   gleich  , so ist  .
    • Für alle abelschen Gruppen   ist  . Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
  • Ist   ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung   ein Homomorphismus. Für   gilt:  . Ist   die Identität auf  , so ist   die Identität auf  . Ist   ein Isomorphismus, so ist   ein Isomorphismus. Wird
    • Jeder abelschen Gruppe   die abelsche Gruppe   und
    • jedem Homomorphismus   der Homomorphismus   zugeordnet, so erhält man den Funktor   von der Kategorie der abelschen Gruppen   in die Kategorie  .
  • Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von  . Da es zu jedem   einen eindeutig bestimmten Homomorphismus   mit   gibt, ist die Zuordnung   eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen:   hat die folgende Eigenschaft: Für alle   und alle Homomorphismen   ist  . Außerdem ist für alle   die Abbildung   ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist:  . Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle   und alle   mit Isomorphismen  . Das heißt unter anderem   ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn   dies ist.
  • Hom(G,-) und exakte Folgen: Ist   eine exakte Folge exakte Folge abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe   die induzierte Folge   exakt.[9] Dabei ist  . Der Funktor   heißt links exakt. Ist   ein Epimorphismus, so ist normalerweise   kein Epimorphismus.
  • Für   gelten die folgenden Gesetze.
    • Für alle   ist   und  .
    • Für alle   ist   und  .
    • Für alle   ist  .   ist ein unitärer Ring.

Verallgemeinerungen, WeiterführendesBearbeiten

Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.

  • Jeder Modul ist ein Modul über dem Ring   (siehe oben). Wird   durch einen beliebigen Ring   ersetzt, erhalten wir einen  -Modul. Sätze über abelsche Gruppen können so oft auf Moduln über Hauptidealbereichen übertragen werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
  • Torsionsgruppen: Ein   heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass  . Die Menge aller Torsionselement in einer Gruppe   bilden eine Untergruppe.   ist die Torsionsuntergruppe von  .
  • Direkte Summen abelscher Gruppen: Für den Fall zweier Untergruppen   sei der Begriff hier erklärt. Ist   und  , so heißt   direkte Summe von  .
  • Direktes Produkt.
  • freie abelsche Gruppe: Manche abelschen Gruppen haben so etwas wie eine Basis in einem Vektorraum. In der Theorie der  -Moduln spielen die freien Moduln eine große Rolle.
  • Teilbare abelsche Gruppe
  • endlich erzeugte abelsche Gruppe. Ihre Struktur ist so ziemlich geklärt. Sie sind direkte Summe von unzerlegbaren zyklischen Gruppen.
  • Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der Dimension eines Vektorraums jeder abelschen Gruppe ihren Rang zuordnen. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer  -linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen   haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von  . Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 1.
  2. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 2
  3. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 3.
  4. Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: "Zahlentheorie für Einsteiger" Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1, Seite 44ff
  5. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 6.
  6. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 55, ISBN 3-519-02211-7
  7. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57, ISBN 3-519-02211-7
  8. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58, ISBN 3-519-02211-7
  9. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 217.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Parallelverschiebung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien