Rang einer abelschen Gruppe

Der Rang einer abelschen Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er ist ein Maß für die Größe einer abelschen Gruppe.

DefinitionBearbeiten

Für eine abelsche Gruppe   stimmen die folgenden Zahlen überein:

  • die Kardinalität einer maximalen  -linear unabhängigen Teilmenge
  • die Dimension des  -Vektorraums   (siehe Tensorprodukt).

Diese Zahl heißt Rang von  .

Beispiele und EigenschaftenBearbeiten

  • Der Rang von   für eine natürliche Zahl   ist gleich  ; allgemeiner ist der Rang der freien abelschen Gruppe   auf einer Menge   gleich der Kardinalität von  .
  • Die Gruppe   hat Rang n.
  • Eine abelsche Gruppe ist genau dann eine Torsionsgruppe, wenn ihr Rang 0 ist.
  • Der Rang ist additiv auf kurzen exakten Sequenzen: Ist
 
eine exakte Sequenz abelscher Gruppen, so ist der Rang von   gleich der Summe der Ränge von   und  .