Rang einer abelschen Gruppe

Der Rang einer abelschen Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er ist ein Maß für die Größe einer abelschen Gruppe.

Definition

Für eine abelsche Gruppe $G$ stimmen die folgenden Zahlen überein:

• die Kardinalität einer maximalen $\mathbb {Z}$-linear unabhängigen Teilmenge
• die Dimension des $\mathbb {Q}$-Vektorraums $G\otimes \mathbb {Q}$ (siehe Tensorprodukt).

Diese Zahl heißt Rang von $G$.

Beispiele und Eigenschaften

• Der Rang von $\mathbb {Z} ^{n}$ für eine natürliche Zahl $n$ ist gleich $n$; allgemeiner ist der Rang der freien abelschen Gruppe $\mathbb {Z} ^{(I)}$ auf einer Menge $I$ gleich der Kardinalität von $I$.
• Die Gruppe $\mathbb {Q} ^{n}$ hat Rang n.
• Eine abelsche Gruppe ist genau dann eine Torsionsgruppe, wenn ihr Rang 0 ist.
• Der Rang ist additiv auf kurzen exakten Sequenzen: Ist

$0\longrightarrow G'\longrightarrow G\longrightarrow G''\longrightarrow 0$

eine exakte Sequenz abelscher Gruppen, so ist der Rang von $G$ gleich der Summe der Ränge von $G'$ und $G''$.