S3 (Gruppe)

Gruppe

Die sogenannte symmetrische Gruppe bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte Gruppe mit 6 Elementen. Sie lässt sich beschreiben als Gruppe der sechs Permutationen einer dreielementigen Menge. Alternative Bezeichnungen sind und . Sie ist isomorph mit der Dïedergruppe  , der Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

EinführungBearbeiten

 
Die Wirkungen der Abbildungen  ,  ,  ,   und  

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten:[1]

  • die identische Abbildung  ,
  • die Drehung   um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • die Drehung   um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • die drei Spiegelungen   und   an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit   oder  ) nebeneinander und meint damit, dass

zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende

Kongruenzabbildung auszuführen ist.[2] Die Schreibweise   macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe   aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

 
Verknüpfungstafel der symmetrischen Gruppe S3 in Farbe. Das neutrale Element (die identische Abbildung) ist schwarz
             
             
             
             
             
             
             

Will man das Produkt  [2] für zwei Elemente   aus   ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel zuerst die mit   gekennzeichnete Spalte, dann die mit   gekennzeichnete Zeile auf; am Schnittpunkt dieser Spalte und Zeile steht das Produkt.

Die rechtsstehende Grafik zeigt die Verknüpfungstafel in Farbe. Diese farbige Verknüpfungstafel folgt der Reihenfolge der Elemente der linksstehenden Tabelle. Farbige Verknüpfungstafeln wie in der Grafik werden in der Online-Enzyklopädie zur Mathematik MathWorld verwendet, wie auch solche in Graustufen.[3]

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges  -Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe   auch mit   bezeichnet.

Elemente der S3 als PermutationenBearbeiten

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der   kann daher als Permutation der Menge   aufgefasst werden. Im Folgenden ist zuerst die Zweizeilenform angegeben, dahinter die Zykelschreibweise[4] der Elemente sowie deren Ordnungen:

 

EigenschaftenBearbeiten

Keine abelsche GruppeBearbeiten

Die Gruppe   ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann (sie ist nicht symmetrisch zur Hauptdiagonale); beispielsweise gilt  . Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu   oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und NormalteilerBearbeiten

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen   und   selbst sind:

  •  . Diese Untergruppe (die Gruppe der Drehungen) ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
  •  . Diese Untergruppen (die Gruppen der Spiegelungen) sind keine Normalteiler; beispielsweise ist  .
  • Das Zentrum von   ist trivial (besteht nur aus  ). Somit kommutiert ein von   verschiedenes Element nur mit Potenzen seiner selbst.

Erzeuger und RelationenBearbeiten

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen     getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:[5]

 

Irreduzible DarstellungenBearbeiten

Bis auf Äquivalenz hat die   drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale.[6] Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von   und   anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

  • Die triviale Darstellung:  
  • Die Signum-Abbildung:  
  • Die zweidimensionale Darstellung:  .

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man   durch   ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:[7]

       
     
       
       
       

Weitere BeispieleBearbeiten

Allgemeine lineare Gruppe über  Bearbeiten

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper  ,   ist isomorph zur  .

TransformationengruppeBearbeiten

Die gebrochen linearen Funktionen   mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper   und den Zuordnungen[8]

   
   

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe  , die isomorph zur   ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

   
   
   
   

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder   unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen  

 

auch in den Wertetabellen, wenn   wenigstens 5 Elemente hat.

AutomorphismengruppeBearbeiten

Die   ist isomorph zur Automorphismengruppe der Kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der Kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Arno Mitschka: Elemente der Gruppentheorie. Studienbücher Mathematik, 1975, ISBN 3-451-16528-7, Abschnitt II.5
  2. a b Diese Reihenfolge kommt von der Operatorenperspektive, wie sie bei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen (so auch bei den Permutationen) vorherrscht. Für die pure Gruppentheorie ist die Reihenfolge unerheblich.
  3. MathWorld: Symmetric Group Die symmetrische Gruppe S3 ist nicht enthalten, aber S4 zum Beispiel.
  4. K. Meyberg: Algebra, Teil I. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.4.2.c
  5. K. Meyberg: Algebra, Teil I. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.7.18.c
  6. J. P. Serre: Darstellungen endlicher Gruppen. Vieweg, 1972, ISBN 3-528-03556-0, §5.3
  7. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag, 1976, ISBN 3-446-12172-2, Beispiel 9.7.1 b
  8. Ist   der Körper der komplexen Zahlen, genauer: die riemannsche Zahlenkugel, dann handelt es sich um Möbiustransformationen.