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Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen Gruppen, Vektorräumen und Ringen gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern, Vektorraumhomomorphismen und Untervektorräumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her. Der Homomorphiesatz lautet:

Ist ein Homomorphismus und der Kern von , dann ist der Quotient isomorph zum Bild .

Inhaltsverzeichnis

GruppeBearbeiten

AussageBearbeiten

Ist   ein Gruppenhomomorphismus, dann ist der Kern   ein Normalteiler von   und die Faktorgruppe   ist isomorph zum Bild  . Ein entsprechender Isomorphismus ist gegeben durch  .

BeweisBearbeiten

Es reicht zu zeigen, dass die Abbildung   ein Gruppenisomorphismus ist.

  ist wohldefiniert und injektiv, da

 

  ist ein Gruppenhomomorphismus, da für alle Nebenklassen   und   gilt:

 

  surjektiv, da für jedes   gilt:  .

Hieraus folgt, dass   ein Gruppenisomorphismus ist, und somit  .

BeispieleBearbeiten

 
ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der speziellen linearen Gruppe   der  -Matrizen mit Determinante   besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt
 .
Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe   die Faktorgruppe   abelsch ist.
  • Analog zeigt man:
 
wobei   für die orthogonale Gruppe und   für die spezielle orthogonale Gruppe steht.
  • Es stehe   für die symmetrische Gruppe. Die Signum-Abbildung   definiert einen Gruppenhomomorphismus mit   (alternierende Gruppe), der für   surjektiv ist. Nach dem Homomorphiesatz gilt also für  :
     

RingBearbeiten

Ist   ein Ringhomomorphismus, dann ist der Kern   ein Ideal von   und der Faktorring   ist isomorph zum Bild  .

Der Beweis verläuft analog zum Beweis für Gruppen, es muss nur noch gezeigt werden:

 

VektorraumBearbeiten

AussageBearbeiten

Ist   ein Vektorraumhomomorphismus, d. h. eine lineare Abbildung von   nach  , dann ist der Kern   ein Untervektorraum von   und der Faktorraum   ist isomorph zum Bild  .

BeispielBearbeiten

Der Differentialoperator

 

ist ein Homomorphismus vom Vektorraum der auf   stetig differenzierbaren Funktionen   in den Vektorraum der auf   stetigen Funktionen  . Sein Kern ist die Menge der konstanten Funktionen, die hier als   notiert wird. Nach dem Homomorphiesatz gilt

 

Der Isomorphismus ist dabei der induzierte Homomorphismus

 .

Sein inverser Homomorphismus ist die unbestimmte Integration

 

wobei   eine beliebige Stammfunktion von   ist.

VerallgemeinerungenBearbeiten

  • Homomorphiesatz für algebraische Strukturen:
Sind   und   zwei algebraische Strukturen gleicher Art und ist   ein Homomorphismus dieser Art mit Kern  , so gilt  .
  • Der Satz gilt allgemein in jeder abelschen Kategorie.
  • Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie der topologischen Gruppen; allerdings ist das Bild dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen, es handelt sich also im Allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit der induzierten Topologie. Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus, wenn auch seine Umkehrung stetig ist, d. h. wenn er auch ein Homöomorphismus ist.

LiteraturBearbeiten

  • Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 54, S. 167–168