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Symmetrische Gruppe

Gruppe von Permutationen endlich vieler Symbole
Ein Cayleygraph der symmetrischen Gruppe S4
Verknüpfungstafel der symmetrischen Gruppe S3
(als Multiplikationstafel der Permutationsmatrizen)

Die symmetrische Gruppe (, oder ) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer -elementigen Menge besteht. Man nennt den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ist endlich und besitzt die Ordnung . Sie ist für nichtabelsch.

Inhaltsverzeichnis

Notation von PermutationenBearbeiten

ZweizeilenformBearbeiten

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation   das Element   auf  , das Element   auf   usw. ab, so kann man hierfür

 

schreiben. In dieser sogenannten Zweizeilenform erhält man die inverse Permutation  , indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Anmerkung: Die Elemente der ersten Zeile dürfen auch in einer anderen Reihenfolge notiert werden.

ZyklenschreibweiseBearbeiten

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Sind   verschieden, geht   in  ,   in  , ...,   in   über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

 

und nennt dies einen Zyklus der Länge  . Zwei Zyklen der Länge   beschreiben genau dann die gleiche Abbildung, wenn der eine durch zyklische Vertauschung seiner Einträge   zum anderen wird. Zum Beispiel gilt  

Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen   und   disjunkt, wenn   für alle   und   gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf zyklische Vertauschung der Einträge innerhalb von Zyklen und die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein: disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

EigenschaftenBearbeiten

Erzeugende MengenBearbeiten

  • Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Unabhängig davon, wie man das Produkt wählt, ist diese Anzahl entweder immer gerade oder immer ungerade und wird durch das Vorzeichen der Permutation beschrieben. Die Menge der geradzahligen Permutationen bildet eine Untergruppe der  , die alternierende Gruppe  .
  • Auch die beiden Elemente   und   erzeugen die symmetrische Gruppe  .[1] Allgemeiner kann auch ein beliebiger  -Zyklus zusammen mit einer beliebigen Transposition zweier aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus gewählt werden.
  • Falls  , lässt sich zu einem beliebigen Element (nicht die Identität) ein Zweites derart wählen, dass beide Elemente die   erzeugen.[2]

KonjugationsklassenBearbeiten

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie in der Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen denselben Zykeltyp aufweisen, das heißt, wenn die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen übereinstimmen. In dieser Darstellung bedeutet die Konjugation eine Umnummerierung der Zahlen, die in den Zykeln stehen.

Jede Konjugationsklasse der   entspricht daher umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von   und die Anzahl ihrer Konjugationsklassen ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion an der Stelle  

Zum Beispiel liegen die Elemente   in der Konjugationsklasse die der Zahlpartition   von 7 zugeordnet ist und die   hat   verschiedene Konjugationsklassen.

NormalteilerBearbeiten

Die symmetrische Gruppe   besitzt außer den trivialen Normalteilern   und   nur die alternierende Gruppe   als Normalteiler, für   zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe  .

Die Kommutatorgruppe   ist ein Normalteiler, und es ist

 .

Satz von CayleyBearbeiten

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe   zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe   isomorph, deren Grad   nicht größer als die Ordnung von   ist.

RechenbeispieleBearbeiten

Angelehnt an die Verkettung von Funktionen wird bei der Hintereinanderausführung   von zwei Permutationen die zuerst ausgeführte Permutation   rechts vom Verkettungszeichen   geschrieben. Auf das Ergebnis wird die zweite Permutation   angewandt.

Beispiel:

 

In Zyklenschreibweise lautet dies:

 

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation   die   auf die   ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation   die   auf die   ab; die gesamte Verkettung bildet also die   auf die   ab, wie rechts vom Gleichheitszeichen als   hingeschrieben.

Für   ist die symmetrische Gruppe   nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:

 
 

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Vgl. Seite 2 oben in (PDF-Datei (Memento vom 16. Dezember 2011 im Internet Archive))
  2. I. M. Isaacs and Thilo Zieschang, “Generating Symmetric Groups,” The American Mathematical Monthly 102, no. 8 (October 1995): 734-739.