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Die alternierende Gruppe vom Grad besteht aus allen geraden Permutationen einer -elementigen Menge. Die Verknüpfung der Gruppe ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen. Meist wird einfach von der alternierenden Gruppe gesprochen.

Die alternierenden Gruppen sind Untergruppen der entsprechenden symmetrischen Gruppen . Eine besondere Bedeutung kommt der alternierenden Gruppe zu. Dass sie der einzige nicht-triviale Normalteiler von ist, ist ein wichtiger Bestandteil des Beweises des Satzes von Abel-Ruffini. Dieser Satz aus dem beginnenden 19. Jahrhundert besagt, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades nicht durch Wurzelausdrücke lösbar sind.

EigenschaftenBearbeiten

Die alternierenden Gruppen sind nur für   definiert.

Die alternierende Gruppe   besteht aus   (halbe Fakultät) Elementen. Nur die Gruppen   und   sind abelsch. Die alternierende Gruppe   ist die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe  .

Bis auf   und   sind alle alternierenden Gruppen einfach.   ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Drehgruppe des Ikosaeders (siehe Ikosaedergruppe).

ErzeugendensystemBearbeiten

Die alternierende Gruppe   wird von den 3-Zykeln der symmetrischen Gruppe   erzeugt.

Jeder 3-Zykel   ist eine gerade Permutation, da er sich als Produkt von zwei Transpositionen

 

schreiben lässt, und deshalb ein Element der alternierenden Gruppe. Des Weiteren ist jede gerade Permutation ein Produkt von 3-Zykeln, da Paare aus zwei Transpositionen Produkte von 3-Zykeln sind. Im Einzelnen gilt

  •  , wenn beide Transpositionen gleich sind.
  •  , wenn beide Transpositionen ein gemeinsames Element besitzen.
  •  , wenn beide Transpositionen kein gemeinsames Element besitzen.

Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade PermutationenBearbeiten

Von einem Fehlstand oder einer Inversion spricht man, wenn zwei „Stellen“ einer Permutation in „falscher“ Reihenfolge stehen. Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihre Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt.

Beispiel: Die Permutation in Tupelschreibweise   besitzt die Inversionen „3 vor 1“ und „3 vor 2“ (abzulesen an der Zweizeilenform) und damit die Inversionszahl  .

Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist; von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.

Oft definiert man auch das Signum   wie folgt:

 , falls die Permutation   gerade ist, und
 , falls   ungerade ist.

Das Signum ist ein Gruppenhomomorphismus, es gilt also:

 

für die Permutationen   und  .

GruppeneigenschaftenBearbeiten

Als Kern des Signums ist   automatisch ein Normalteiler von  . Man kann auch die Untergruppeneigenschaften leicht nachrechnen:

Für die Menge der geraden Permutationen gilt:

  • Die identische Permutation   ist Element dieser Menge.
  • Die Menge ist bezüglich Verkettung abgeschlossen, d. h. wenn   und   gerade Permutationen sind, sind auch   und   gerade; eine Beweisskizze folgt weiter unten.

Mit diesen Voraussetzungen „erbt“   direkt von   alle notwendigen Gruppeneigenschaften:

  • Für alle geraden Permutationen   gilt:  
  • Für alle geraden Permutationen   gilt:  
  • Für alle geraden Permutationen   gilt: Es gibt ein gerades   mit  .

Die Gruppe   stellt hierbei eine Besonderheit dar, da sie die kleinste einfache nicht-abelsche Gruppe ist.

AbgeschlossenheitBearbeiten

Transpositionen Bearbeiten

Als Transposition bezeichnet man eine Permutation, bei der genau zwei verschiedene Stellen miteinander vertauscht werden, z. B.  , bei der 3 und 5 vertauscht werden.

Allgemein gilt für alle  -stelligen Permutationen   und  :   lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus   erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutation  :   lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation   erzeugen.

 
Im Bild ist dargestellt, wie die Permutation in Tupelschreibweise   aus   mit 5 Transpositionen erzeugt wird.

Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit, so könnte man im Bild rechts beispielsweise die Transpositionen   und   wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben. Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sich paarweise aufhebender Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, … erhöhen. Allerdings ist es nicht möglich,   mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus   zu erzeugen.

Transpositionen und InversionszahlBearbeiten

Durch eine einzelne Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.

Bei einer Transposition, die aus

  die neue Permutation
  erzeugt,

setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:

  • Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von   und   ergibt, diese ist +1, falls  , ansonsten −1.
  • Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von   und   ergibt.
    • Falls   größtes oder kleinstes Element von   ist, beträgt die Änderung 0.
    • Falls   mittleres Element von   ist, beträgt die Änderung +2 oder −2.

Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.

 
Umwandlung zwischen geraden und ungeraden Permutationen durch Transpositionen

Die weiter oben getroffene Aussage lässt sich verallgemeinern:

  • Durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.
  • Durch eine gerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine gerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird erneut eine gerade Permutation und aus einer ungeraden Permutation wird erneut eine ungerade Permutation.

Transpositionen und AbgeschlossenheitBearbeiten

Da id eine gerade Permutation ist, gilt:

  • Alle geraden Permutationen lassen sich nur durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.
  • Alle ungeraden Permutationen lassen sich nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.

Wenn   und   gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen   und  , so dass sich   und   als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:

  •  
  •  

Damit gilt  , somit ist auch die Verkettung   gerade.

Analog kann man herleiten: Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation. Damit führt die Annahme, eine Permutation   sei gerade und   sei ungerade, wegen   zum Widerspruch.

Präsentation der Gruppe AnBearbeiten

Eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen sieht so aus: Die Gruppe   wird für   durch

Erzeugende   und
Relationen
    für    
    für    
    für    

definiert.[1] Das heißt, dass jede Gruppe, die   Elemente   enthält, die untereinander die oben genannten Gleichungen erfüllen und insgesamt die Gruppe erzeugen, bereits zur alternierenden Gruppe   isomorph ist.

Das kann man etwa verwenden, um zu zeigen, dass   isomorph zur Gruppe   der invertierbaren  -Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen ist. Das folgt aus der nachzurechnenden Tatsache, dass

 
 

die Gruppe erzeugen und obige Relationen erfüllen.[2]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 108–109

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel I, Satz 6.14
  2. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Satz 2.5