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Alle sechs Permutationen dreier farbiger Kugeln

Unter einer Permutation (von lateinisch permutare ‚vertauschen‘) versteht man in der Kombinatorik eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Je nachdem, ob manche Objekte mehrfach auftreten dürfen oder nicht, spricht man von einer Permutation mit Wiederholung oder einer Permutation ohne Wiederholung. Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung ergibt sich als Fakultät, während die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung über Multinomialkoeffizienten angegeben wird.

In der Gruppentheorie ist eine Permutation ohne Wiederholung eine bijektive Selbstabbildung einer in der Regel endlichen Menge, wobei als Referenzmengen meist die ersten natürlichen Zahlen verwendet werden. Die Menge der Permutationen der ersten natürlichen Zahlen bildet mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung die symmetrische Gruppe vom Grad . Das neutrale Element dieser Gruppe stellt die identische Permutation dar, während das inverse Element die inverse Permutation ist. Die Untergruppen der symmetrischen Gruppe sind die Permutationsgruppen.

Wichtige Kenngrößen von Permutationen sind ihr Zykeltyp, ihre Ordnung und ihr Vorzeichen. Mit Hilfe der Fehlstände einer Permutation lässt sich auf der Menge der Permutationen fester Länge eine partielle Ordnung definieren. Über ihre Inversionstafel kann zudem jeder Permutation eine eindeutige Nummer in einem fakultätsbasierten Zahlensystem zugeordnet werden. Wichtige Klassen von Permutationen sind zyklische, fixpunktfreie, selbstinverse und alternierende Permutationen.

Permutationen besitzen vielfältige Einsatzbereiche innerhalb und außerhalb der Mathematik, beispielsweise in der linearen Algebra (Leibniz-Formel), der Analysis (Umordnung von Reihen), der Graphentheorie und Spieltheorie, der Kryptographie (Verschlüsselungsverfahren), der Informatik (Sortierverfahren) und der Quantenmechanik (Pauli-Prinzip).

Wirkung der sechs Permutationen der RGB-Farben auf das Foto einer Dahlienblüte in der Reihenfolge der obigen Grafik

Inhaltsverzeichnis

Kombinatorische GrundlagenBearbeiten

 
Permutationen vier farbiger Kugeln ohne Wiederholung (links) und mit Wiederholung (mitte und rechts).

ProblemstellungBearbeiten

Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Beispiele für Permutationen sind:

  • Ein Anagramm ist eine Permutation der Buchstaben eines Wortes, wie beispielsweise ENKEL und NELKE.
  • Das Mischen der Karten eines Kartenspiels ist (im Idealfall) eine zufällige Permutation der Karten.
  • Im Volleyball ist der Stellungswechsel nach Eroberung des Aufschlagsrechts eine zyklische Permutation der Spieler.
  • Viele Sortierverfahren arbeiten mit sukzessiven Transpositionen, also Permutationen, die genau zwei Objekte vertauschen.

Werden in einer solchen Anordnung nicht alle Objekte ausgewählt, spricht man statt von einer Permutation von einer Variation, spielt die Reihenfolge bei der Auswahl keine Rolle, von einer Kombination. In der abzählenden Kombinatorik stellt sich nun die Frage nach der Anzahl möglicher Permutationen. Hierbei unterscheidet man den Fall, dass alle Objekte verschieden sind, von dem Fall, dass manche der Objekte identisch sind.

Permutation ohne WiederholungBearbeiten

Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine Anordnung von   Objekten, die alle unterscheidbar sind. Nachdem es für das erste Objekt   Platzierungsmöglichkeiten gibt, kommen für das zweite Objekt nur noch   Möglichkeiten in Betracht, für das dritte Objekt nur mehr   und so weiter bis zum letzten Objekt, dem nur noch ein freier Platz bleibt. Die Anzahl der möglichen Permutationen von   Objekten wird demnach durch die Fakultät

 

angegeben.

Beispielsweise gibt es   mögliche Anordnungen von vier verschiedenfarbigen Kugeln in einer Reihe.

Permutation mit WiederholungBearbeiten

Eine Permutation mit Wiederholung ist eine Anordnung von   Objekten, von denen manche nicht unterscheidbar sind. Sind genau   Objekte identisch, dann sind diese auf ihren Plätzen vertauschbar, ohne dass sich dabei eine neue Reihenfolge ergibt. Auf diese Weise sind genau   Anordnungen gleich. Die Anzahl der Permutationen von   Objekten, von denen   identisch sind, ist demnach durch die fallende Faktorielle

 

gegeben. Gibt es nicht nur eine, sondern   Gruppen mit jeweils   identischen Objekten, so können all diese Objekte auf ihren Plätzen vertauscht werden, ohne dass sich neue Anordnungen ergeben. Zählt man auch die Objekte, die nur einmal vorkommen, mit Vielfachheit  , dann gilt   und die Anzahl der möglichen Permutationen wird durch den Multinomialkoeffizienten

 

angeben.

Beispielsweise gibt es   mögliche Anordnungen von vier farbigen Kugeln in einer Reihe, wenn genau zwei der Kugeln die gleiche Farbe aufweisen, und   mögliche Anordnungen, wenn jeweils zwei Kugeln gleichfarbig sind.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Menge mit   Elementen, dann ist eine  -stellige Permutation (ohne Wiederholung) eine bijektive Abbildung

 ,

die jedem Element der Menge ein Element der gleichen Menge zuordnet. Anschaulich nimmt durch die Permutation jedes Element   für   den Platz des ihm zugeordneten Elements   ein. Aufgrund der Bijektivität der Abbildung werden dabei zwei verschiedene Elemente niemals auf das gleiche Element abgebildet. Der Fall   ist ebenfalls zugelassen und   ist dann die leere Menge.

Da per Definition jede endliche Menge zu einer Menge der Form {1, 2, ..., n} gleichmächtig ist, kann man sich bei der mathematischen Betrachtung von Permutationen stets auf die ersten   natürlichen Zahlen als Referenzmenge beschränken. Eine Permutation ist dann eine bijektive Abbildung

 ,

die jeder natürlichen Zahl zwischen   und   genau eine Zahl im gleichen Bereich zuordnet.[1] Stellt man sich alle   Zahlen in einer Liste aneinandergereiht vor, dann nimmt die Zahl   durch die Permutation den Platz mit der Nummer   ein.

NotationBearbeiten

ZweizeilenformBearbeiten

In der ausführlichen Darstellung einer  -stelligen Permutation   schreibt man diese als Matrix mit zwei Zeilen und   Spalten. In der oberen Zeile stehen die Zahlen von   bis   (in beliebiger Reihenfolge). Unter jeder Zahl   steht dann in der zweiten Zeile der Funktionswert  :

 

Auch in der zweiten Zeile steht somit jede Zahl von   bis   genau einmal.

Beispiel

Die Permutation   mit   und   wird in der Zweizeilenform durch

 

notiert.

TupelschreibweiseBearbeiten

Bei der kompakteren Tupelschreibweise schreibt man lediglich die Funktionswerte   in eine Zeile:

 

Diese Schreibweise verwendet somit lediglich die zweite Zeile der Zweizeilenform. Da so die Information über die Zahl  , die auf   abgebildet wird, verloren geht, kann die Tupelschreibweise nur verwendet werden, wenn die Reihenfolge der Zahlen aus der ersten Zeile bekannt ist. In der Regel ist dies die natürliche Reihenfolge. Die Tupelschreibweise kann leicht mit der Zyklenschreibweise (siehe folgenden Abschnitt) verwechselt werden, besonders da manche Autoren die Kommata weglassen.

Beispiel

Für die obige Beispielpermutation erhält man die Tupelschreibweise

 .

ZyklenschreibweiseBearbeiten

Die Zyklenschreibweise benötigt ebenfalls nur eine Zeile. Man beginnt mit einer beliebigen Zahl   und schreibt

 ,

wobei   die  -fache Hintereinanderausführung von   bezeichnet und   die kleinste natürliche Zahl mit   ist. Eine solche Klammer heißt Zyklus und   ist seine Länge. Gibt es weitere Zahlen, die noch nicht notiert wurden, so wählt man eine solche Zahl   und schreibt einen weiteren Zyklus   der Länge   dahinter. Man fährt so lange fort, bis jede Zahl genau einmal notiert wurde. Klammern, in denen nur eine Zahl steht, können anschließend wieder gestrichen werden. Diese Darstellung ist nicht eindeutig, denn die Reihenfolge der Zyklen ist beliebig wählbar und in jedem Zyklus dürfen die Zahlen zyklisch vertauscht werden.

Beispiel

Für die obige Beispielpermutation verwendet man die folgenden Zyklenschreibweisen:

 

Weitere DarstellungenBearbeiten

GraphdarstellungBearbeiten

 
Graph der Permutation  

Der Graph einer  -stelligen Permutation   ist ein gerichteter Graph   mit Knotenmenge   und Kantenmenge

 .

In einem solchen Graphen besitzt jeder Knoten genau eine ausgehende und genau eine eingehende Kante. Die Zyklen des Graphen sind gerade die Zyklen der Permutation, wobei diejenigen Zahlen, die durch die Permutation festgehalten werden, Schleifen an den zugehörigen Knoten erzeugen. Der Graph einer Permutation ist nur dann zusammenhängend, wenn die Permutation aus einem einzelnen Zyklus der Länge   besteht.

PermutationsmatrizenBearbeiten

 
Permutationsmatrix der Permutation  

Die Permutationsmatrix   einer  -stelligen Permutation   wird durch

 

definiert. Wird durch eine Permutation die Zahl   auf die Zahl   abgebildet, dann besitzt die zugehörige Permutationsmatrix in der  -ten Zeile eine   in der Spalte  . Die Elemente eines Spaltenvektors   werden in der linearen Algebra dadurch permutiert, dass der Vektor von links mit der Permutationsmatrix   multipliziert wird:

 .

Permutationen als GruppeBearbeiten

Die Permutationen der Menge   bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Gruppe, die symmetrische Gruppe  . Die symmetrischen Gruppen spielen in der Mathematik eine bedeutende Rolle. Beispielsweise ist nach dem Satz von Cayley jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph. Die Untergruppen der symmetrischen Gruppe heißen Permutationsgruppen.

Die Galoisgruppe in der (klassischen) Galoistheorie ist solch eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe: Permutiert werden dabei die Nullstellen von Polynomen. Die Eigenschaften der Galoisgruppe geben Aufschluss über die Auflösbarkeit einer Polynomgleichung durch Radikale, d. h. durch Wurzelausdrücke. Damit lässt sich zum Beispiel beweisen, dass die allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale auflösbar ist (Satz von Abel-Ruffini).

KompositionBearbeiten

Zwei  -stellige Permutationen   lassen sich hintereinander ausführen, indem man zunächst die erste Permutation anwendet und auf das Resultat dann die zweite Permutation. Man schreibt die Hintereinanderausführung als

 ,

wobei erst   und dann   angewandt wird. Diese Hintereinanderausführung wird auch Komposition, Verknüpfung oder Produkt zweier Permutationen genannt und das Ergebnis ist wieder eine  -stellige Permutation. Die Komposition von Permutationen ist nicht kommutativ, das heißt im Allgemeinen liefern   und   verschiedene Resultate. Die symmetrische Gruppe   ist demnach für   nicht abelsch. Allerdings ist die Komposition assoziativ, das heißt für alle Permutationen   gilt

 .

Beispiele

Es ist beispielsweise

 .

Um das Ergebnis zu erhalten, wendet man die Permutationen von rechts nach links an und verfolgt den Weg der einzelnen Zahlen. Die   wird in der zweiten Permutation auf sich selbst abgebildet und in der ersten Permutation dann auf die  , das heißt  , insgesamt  . Der Weg der   ist entsprechend  , also  . Die   geht schließlich den Weg  , im Ergebnis  .

In der Zyklendarstellung geht man analog vor, wobei Zahlen, die nicht in einem Zyklus vorkommen, festgehalten werden. Beispielsweise ist

 .

Hier ermittelt man die Wege  ,  ,   und  .

Identische PermutationBearbeiten

Das neutrale Element der symmetrischen Gruppe   ist die identische Permutation

 ,

also diejenige Permutation, die alle Zahlen an ihrem Platz belässt. Für jede Permutation   gilt damit

 .

Die identische Permutation notiert man auch als leere Klammer  , als   oder als  . Die Permutationsmatrix der identischen Permutation ist die Einheitsmatrix. Der Graph der identischen Permutation weist lediglich eine Schleife an jedem Knoten auf. Die identische Permutation der Länge eins wird auch als triviale Permutation bezeichnet.

Inverse PermutationBearbeiten

Zu jeder Permutation   gibt es genau ein inverses Element, die inverse Permutation  , mit

 .

Die inverse Permutation erhält man, indem man in der Zweizeilenform die obere mit der unteren Zeile vertauscht:

 

In der Zyklenschreibweise erhält man die inverse Permutation, indem man in jedem Zyklus die Zahlen in der umgekehrten Reihenfolge schreibt. In der Graphdarstellung der inversen Permutation werden lediglich die Richtungen aller Kanten umgedreht. Die Permutationsmatrix der inversen Permutation ist die transponierte Matrix der Ausgangspermutation.

Beispiel

Die inverse Permutation zu

 

ist

 .

KonjugationBearbeiten

Zwei Permutationen   heißen zueinander konjugiert, wenn eine Permutation   existiert, sodass

    bzw.    

gilt. Wird durch die Permutation   die Zahl   auf die Zahl   abgebildet, dann bildet die Permutation   die Zahl   auf die Zahl   ab. Die Konjugation stellt eine Äquivalenzrelation   auf der Menge der Permutationen fester Länge dar, das heißt, sie ist reflexiv ( ), symmetrisch (aus   folgt  ) und transitiv (aus   und   folgt  ). Die Menge aller zu einer Permutation   konjugierten Permutationen bilden eine Äquivalenzklasse (die Konjugationsklasse), die durch   notiert wird.

Beispiel

Die symmetrische Gruppe   besitzt die drei Konjugationsklassen:

 
 
 

KenngrößenBearbeiten

ZykeltypBearbeiten

  Zykeltyp Zykelstruktur Anzahl
1 11 ( • ) 1
2 12 ( • ) ( • ) 1
21 ( • • ) 1
3 13 ( • ) ( • ) ( • ) 1
11 21 ( • • ) ( • ) 3
31 ( • • • ) 2
4 14 ( • ) ( • ) ( • ) ( • ) 1
12 21 ( • • ) ( • ) ( • ) 6
22 ( • • ) ( • • ) 3
11 31 ( • • • ) ( • ) 8
41 ( • • • • ) 6

Bezeichnet   für   die Anzahl der Zyklen der Länge   in einer Permutation  , dann ist der Zykeltyp dieser Permutation der formale Ausdruck

 ,

wobei die Terme mit   nicht aufgeführt werden müssen. Formal heißt hier, dass das Produkt und die Potenzen nicht tatsächlich ausgerechnet werden. Die Anzahl der möglichen Zykeltypen  -stelliger Permutationen entspricht gerade der Anzahl der Partitionen der Zahl  . Die Anzahl der Permutationen pro Zykeltyp kann aus der Typbeschreibung errechnet werden. Die inverse Permutation weist immer den gleichen Zykeltyp wie die Ausgangspermutation auf. Zudem hat das Resultat der Komposition zweier Permutationen unabhängig von der Reihenfolge der Operanden ebenfalls den gleichen Zykeltyp. Zwei Permutationen sind demnach genau dann zueinander konjugiert, wenn sie vom gleichen Zykeltyp sind. Die Permutationen gleichen Zykeltyps bilden daher die Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe  . Die Permutationen mit gleicher Zyklenzahl werden durch die Stirling-Zahlen erster Art gezählt.

OrdnungBearbeiten

Die Ordnung einer Permutation   ist die kleinste natürliche Zahl   derart, dass die  -malige Hintereinanderausführung von   die identische Permutation ergibt:

 .

Die Ordnung einer Permutation   ist damit die Elementordnung von   als Gruppenelement der symmetrischen Gruppe. Aus der Zyklendarstellung einer Permutation lässt sich die Ordnung als das kleinste gemeinsame Vielfache der Längen der disjunkten Zyklen ermitteln. Beispielsweise ist die Ordnung der Permutation   das kleinste gemeinsame Vielfache von drei und zwei, also sechs.

FehlständeBearbeiten

Fehlstände der Permutationen in S3
Nr. Permutation Fehlstände Anzahl
0 (1,2,3) 0
1 (1,3,2) (2,3) 1
2 (2,1,3) (1,2) 1
3 (2,3,1) (1,2),(1,3) 2
4 (3,1,2) (1,3),(2,3) 2
5 (3,2,1) (1,2),(1,3),(2,3) 3

Man nennt ein Zahlenpaar   Fehlstand oder Inversion einer Permutation  , falls   und   gilt. Zwei Zahlen bilden also genau dann einen Fehlstand, wenn nach Anwenden der Permutation die größere vor der kleineren steht. Die Menge der Fehlstände einer Permutation   ist damit durch

 

gegeben. Die Anzahl der Fehlstände   einer Permutation heißt Fehlstandszahl oder Inversionszahl der Permutation. Die Fehlstandszahl kann als Maß für die Unordnung der durch die Permutation vertauschten Zahlen angesehen werden.

VorzeichenBearbeiten

Das Vorzeichen oder Signum einer Permutation   ist die Zahl

 .

Eine Permutation hat damit das Vorzeichen  , falls ihre Fehlstandszahl gerade ist, ansonsten das Vorzeichen  . Im ersten Fall spricht man von einer geraden und im zweiten Fall von einer ungeraden Permutation. Die Menge der geraden Permutationen bildet eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe  , die alternierende Gruppe  .

Anstiege und AbstiegeBearbeiten

Ein Anstieg in einer Permutation   ist eine Zahl  , für die   gilt. Die Menge der Anstiege in einer Permutation ist damit durch

 

gegeben. Entsprechend dazu gilt für einen Abstieg  . Die Anzahl der Permutationen in   mit genau   Anstiegen bzw. Abstiegen wird durch die Euler-Zahlen   angegeben. Eine maximale, das heißt beidseitig nicht mehr verlängerbare Folge

 

sukzessive steigender bzw. fallender Zahlen in einer Permutation wird ansteigender bzw. absteigender Lauf der Länge   genannt. Für   kann eine solche Folge auch nur aus einer Zahl bestehen. Weist eine Permutation insgesamt   Anstiege bzw. Abstiege auf, so ist sie aus   absteigenden bzw. ansteigenden Läufen zusammengesetzt. Demnach ist die Anzahl der Permutationen in   mit genau   ansteigenden bzw. absteigenden Läufen durch   gegeben.

OrdnungseigenschaftenBearbeiten

AnordnungBearbeiten

 
Hasse-Diagramm der Permutationen in S4. Blaue, grüne und rote Kanten entsprechen den Nachbarvertauschungen (1 2), (2 3) und (3 4), die von unten nach oben gesehen immer genau einen Fehlstand erzeugen.

Mit Hilfe der Fehlstände lässt sich auf der Menge der  -stelligen Permutationen eine partielle Ordnung durch

 ,

definieren, wobei   sind. Das minimale Element bezüglich dieser Ordnung ist die identische Permutation, während das maximale Element diejenige Permutation ist, die die Reihenfolge aller Zahlen umkehrt. In dem zugehörigen Hasse-Diagramm sind zwei Permutationen durch eine Kante verbunden, wenn sie durch eine Nachbarvertauschung auseinander hervorgehen. Die Knoten und Kanten des Hasse-Diagramms bilden einen Cayley-Graphen, der isomorph zum Kantengraphen des entsprechenden Permutaeders ist. Der Permutaeder ist ein konvexes Polytop im  -dimensionalen Raum, das daraus entsteht, dass die Permutationen der Menge   als Koordinatenvektoren interpretiert werden und dann die konvexe Hülle dieser Punkte gebildet wird.

AufzählungBearbeiten

Die Inversionstafel oder der Inversionsvektor einer Permutation   ordnet jeder Zahl   die Anzahl der Fehlstände zu, die sie erzeugt. Bezeichnet   die Anzahl der Zahlen, die in der Tupeldarstellung von   links von   stehen und größer als   sind, dann ist der Inversionsvektor einer Permutation durch

 

gegeben. Aus dem Inversionsvektor   lässt sich umgekehrt die zugrundeliegende Permutation   eindeutig ermitteln. Fasst man die Inversionsvektor als Zahl in einem fakultätsbasierten Zahlensystem auf, lässt sich jeder Permutation   eine eindeutige Nummer   durch

 

zuweisen. Statt des Inversionsvektors wird auch der Lehmer-Code zur Nummerierung von Permutationen verwendet.

SymmetrienBearbeiten

Die zu einer Permutation   komplementäre Permutation ist

 .

Die komplementäre Permutation entsteht durch horizontale Spiegelung der Permutationsmatrix. Die reverse Permutation ist entsprechend

 

und entsteht durch vertikale Spiegelung. Komplementäre und reverse Permutationen besitzen sie den gleichen Zykeltyp und die gleiche Ordnung wie die Ausgangspermutation. Die Zahl der An- und Abstiege wird allerdings bei komplementären und reversen Permutationen vertauscht. Außerdem kehrt sich das Vorzeichen bei komplementären Permutationen und bei reversen Permutationen mit Länge 2 modulo 4 oder Länge 3 modulo 4 um. Die Inverse der komplementären Permutation ist gleich der revertierten Inversen und die Inverse der reversen Permutation ist gleich der komplementären Inversen.

Spezielle PermutationenBearbeiten

Zyklische PermutationenBearbeiten

 
Graph einer zyklischen Permutation der Länge 6

Eine Permutation, die   Zahlen zyklisch vertauscht und die übrigen Zahlen fest lässt, heißt zyklische Permutation oder  -Zyklus und wird als ein einzelner Zyklus der Länge   geschrieben. Ein  -Zyklus, also eine Vertauschung zweier Zahlen, heißt auch Transposition. Die Verkettung zyklischer Permutationen ist kommutativ, wenn diese disjunkte Träger besitzen. Die Inverse einer zyklischen Permutation ist immer ebenfalls zyklisch, ebenso wie Potenzen einer zyklischen Permutation, deren Länge eine Primzahl ist. Jede zyklische Permutation kann in einzelne (nicht disjunkte) Transpositionen zerlegt werden und weist genau dann ein gerades Vorzeichen auf, wenn ihre Länge ungerade ist.

Fixpunktfreie PermutationenBearbeiten

 
Graph einer fixpunktfreien Permutation der Zahlen von 1 bis 8

Zahlen, die durch eine Permutation festgehalten werden, nennt man Fixpunkte der Permutation. In der Zweizeilenform erkennt man Fixpunkte daran, dass der obere und untere Eintrag der jeweiligen Spalte gleich ist. In der Zyklenschreibweise sind Fixpunkte genau die Einerzyklen beziehungsweise die Zahlen, die nicht erscheinen. In der Permutationsmatrix sind die den Fixpunkten zugewiesenen Einträge der Hauptdiagonale  . Eine fixpunktfreie Permutation hält keine der Zahlen fest und wird auch Derangement genannt. Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen der Zahlen von   bis   kann durch die Subfakultät   berechnet werden. Für wachsendes   strebt der Anteil der fixpunktfreien Permutationen sehr schnell gegen den Kehrwert der eulerschen Zahl  . Sollen in einer Permutation manche der Elemente an ihrem alten Platz verbleiben, spricht man von einem partiellen Derangement, deren Anzahl durch die Rencontres-Zahlen ermittelt werden kann.

Selbstinverse PermutationenBearbeiten

 
Graph einer selbstinversen Permutation der Zahlen von 1 bis 8

Eine Permutation   mit   oder äquivalent dazu   heißt Involution oder selbstinvers. Die Involutionen sind genau die Permutationen der Ordnung zwei sowie die Identität selbst (die einzige Permutation der Ordnung eins). Eine Permutation ist genau dann eine Involution, wenn ihre Zyklendarstellung maximal Zyklen der Länge zwei, also Transpositionen, enthält. Die Permutationsmatrix einer selbstinversen Permutation ist immer symmetrisch. Selbstinverse Permutationen spielen in der Kryptographie eine wichtige Rolle, wird nämlich eine Nachricht mit Hilfe einer selbstinversen Permutation verschlüsselt, dann lässt sich die Nachricht mittels der gleichen Permutation auch wieder entschlüsseln.

Ein Beispiel für eine selbstinverse Permutation ist die Spiegelung

 ,

siehe auch Wort (Theoretische Informatik) §Spiegelung und Palindrom.

Alternierende PermutationenBearbeiten

Man nennt eine Permutation alternierend, wenn in ihrer Tupeldarstellung keine Zahl   von ihrer Größe her zwischen der vorangehenden Zahl   und der nachfolgenden Zahl   steht. In einer alternierenden Permutation sind demnach die durch die Permutation vertauschten Zahlen immer abwechselnd größer und kleiner als die jeweils vorangegangene Zahl. Beginnt die Folge der Zahlen mit einem Anstieg, so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg von einer Down-Up-Permutation. Jede alternierende Permutation ungerader Länge entspricht einem vollen partiell geordneten Binärbaum und jede alternierende Permutation gerader Länge einem fast vollen solchen Baum. Die Anzahlen der alternierenden Permutationen fester Länge treten als Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe der Sekans- und der Tangensfunktion auf und stehen in engem Zusammenhang mit den Euler- und den Bernoulli-Zahlen.

Separable PermutationenBearbeiten

Separable Permutationen sind Permutationen, die sich als direkte oder schiefe Summe trivialer Permutationen darstellen lassen. Eine solche Summe zweier Permutationen ergibt eine neue Permutation, deren Länge die Summe der Längen der beiden Ausgangspermutationen ist. Bei einer direkten Summe wird dabei die zweite Permutation verschoben an die erste angehängt, bei einer schiefen Summe die erste Permutation verschoben der zweiten vorangestellt. Die Anzahl separabler Permutationen fester Länge wird durch die Schröder-Zahlen angegeben. Separable Permutationen zeichnen sich durch eine spezielle rekursive Blockstruktur der zugehörigen Permutationsmatrizen aus. Sie werden unter anderem in der Sortierungstheorie untersucht.

Zufällige PermutationenBearbeiten

Eine zufällige Permutation ist eine aus der Menge der Permutationen   zufällig ausgewählte Permutation. In der Stochastik werden zufällige Permutationen als Zufallsvariablen aus einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum angesehen. So können auch Kennzahlen zufälliger Permutationen, wie die Anzahl der Fixpunkte, Fehlstände oder Zyklen, als diskrete Zufallsvariablen angesehen werden, deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen dann untersucht werden. Im Computer können zufällige Permutationen effizient mit dem Fisher-Yates-Verfahren generiert werden. Zufällige Permutationen werden unter anderem bei der Analyse von Sortierverfahren, in der Kryptographie und Kodierungstheorie sowie im Rahmen randomisierter Algorithmen untersucht. Das Problem der 100 Gefangenen ist ein mathematisches Rätsel, das auf zufälligen Permutationen basiert.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Als bijektive Abbildung gelegentlich auch
     
    geschrieben, siehe Funktion (Mathematik) §Symbolik.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Permutation – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Commons: Permutationen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien