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Bijektive Funktion

vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge
Eine bijektive Funktion

Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre. Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen. Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch Bijektionen. Zu einer mathematischen Struktur auftretende Bijektionen haben oft eigene Namen wie Isomorphismus, Diffeomorphismus, Homöomorphismus, Spiegelung oder Ähnliches. Hier sind dann in der Regel noch zusätzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfüllen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit. Im Falle, dass eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen vorliegt, ist diese gemeinsame Mächtigkeit eine natürliche Zahl, nämlich genau die Anzahl der Elemente jeder der beiden Mengen.

Die Bijektion einer Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen. Hat die Bijektion darüber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften, spricht man von einem Automorphismus.

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine bijektive Korrespondenz genannt.[1][2]

DefinitionBearbeiten

Seien   und   Mengen und sei   eine Funktion, die von   nach   abbildet, also  . Dann heißt   bijektiv, wenn für alle   genau ein   mit   existiert.

Das bedeutet:   ist bijektiv dann und nur dann, wenn   sowohl

(1) injektiv ist:
Kein Wert der Zielmenge   wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge   besteht aus höchstens einem Element von  . Aus   folgt daher immer  .

als auch

(2) surjektiv ist:
Jedes Element der Zielmenge   wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge   und die Bildmenge   stimmen überein, also  . Für jedes   aus   existiert daher (mindestens) ein   aus   mit  .

Grafische VeranschaulichungenBearbeiten

Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit   bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit  .

  • Die Funktion   ist bijektiv mit der Umkehrfunktion  .
  • Ebenso ist für   die Funktion   bijektiv mit der Umkehrfunktion  .
  • Beispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. Dies ist sogar ein Beispiel für eine selbstinverse Abbildung.
  • Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions- bzw. Wertemengen:
 
 
 
 
Mit diesen Definitionen ist
  nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
  injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
  nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv
  injektiv, surjektiv, bijektiv

EigenschaftenBearbeiten

  • Sind   und   endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist   eine Funktion, dann gilt:
    Ist   injektiv, dann ist   bereits bijektiv.
    Ist   surjektiv, dann ist   bereits bijektiv.
  • Insbesondere gilt also für Funktionen   von einer endlichen Menge   in sich selbst:
      ist injektiv ⇔   ist surjektiv ⇔   ist bijektiv.
    Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine Bijektionen sind.
    Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit.
  • Sind die Funktionen   und   bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung  . Die Umkehrfunktion von   ist dann  .
  • Ist   bijektiv, dann ist   injektiv und   surjektiv.
  • Ist   eine Funktion und gibt es eine Funktion  , die die beiden Gleichungen
      (  = Identität auf der Menge  )
      (  = Identität auf der Menge  )
    erfüllt, dann ist   bijektiv, und   ist die Umkehrfunktion von  , also  .
  • Die Menge der Permutationen einer gegebenen Grundmenge   bildet zusammen mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe von  .

Geschichte des BegriffsBearbeiten

Nachdem man lange mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam schließlich Mitte des 20. Jahrhunderts im Zuge der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Die Begriffe bijektiv, injektiv und surjektiv wurden in den 1950ern von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki geprägt.[3]

LiteraturBearbeiten

  • Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg [u. a.] 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.
  • Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Springer, 1981, ISBN 3-540-10603-0, hier S. 94 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2017]).
  2. Gernot Stroth: Algebra: Einführung in die Galoistheorie. de Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-015534-6, hier S. 100 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2017]).
  3. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.