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Diffeomorphismus

umkehrbare differenzierbare Abbildung

In der Mathematik, insbesondere in den Gebieten Analysis, Differentialgeometrie und Differentialtopologie, ist ein Diffeomorphismus eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.

Dabei können die Definitions- und Zielbereiche der Abbildung offene Mengen des endlichdimensionalen reellen Vektorraums sein oder allgemeiner differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Je nach Differenzierbarkeitsklasse spricht man von -Diffeomorphismen ().

Bild eines rechtwinkligen Netzes auf einem Quadrat unter einem Diffeomorphismus vom Quadrat auf sich selbst.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Im VektorraumBearbeiten

Eine Abbildung   zwischen offenen Teilmengen   des reellen Vektorraums   heißt Diffeomorphismus, falls

Sind   und   sogar  -mal stetig differenzierbar („von der Klasse  “,  ), so nennt man   einen  -Diffeomorphismus. Sind   und   beliebig oft differenzierbar („von der Klasse  “), so bezeichnet man   als  -Diffeomorphismus. Sind   und   beide reell-analytisch („von der Klasse  “), so nennt man   einen  -Diffeomorphismus.

Eine Abbildung   zwischen offenen Teilmengen   heißt lokaler Diffeomorphismus, falls jeder Punkt   eine offene Umgebung   besitzt, so dass deren Bild   offen und die Einschränkung   von   auf   ein Diffeomorphismus ist.

Auf differenzierbaren MannigfaltigkeitenBearbeiten

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird der Begriff analog definiert:

Eine Abbildung   zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten   und   heißt Diffeomorphismus, falls sie bijektiv ist und sowohl   als auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sind. Wie oben werden die Begriffe  -,  - und  -Diffeomorphismus und lokaler Diffeomorphismus definiert.

Zwei Mannigfaltigkeiten   und   heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus   von   nach   gibt. Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht.

Damit ist die Diffeomorphie gerade die Isomorphie in der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein Diffeomorphismus ist immer auch ein Homöomorphismus, die Umkehrung gilt aber nicht.
  • Aus der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung folgt, dass in jedem Punkt   die Ableitung von   (als lineare Abbildung von   nach   bzw. vom Tangentialraum   nach  ) invertierbar (bijektiv, regulär, von maximalem Rang) ist.
  • Ist umgekehrt die Abbildung   bijektiv und ( -mal) stetig differenzierbar und ist ihre Ableitung an jeder Stelle invertierbar, so ist   ein ( )-Diffeomorphismus.

Eine stärkere Aussage enthält der Satz über die Umkehrabbildung:

Satz über die UmkehrabbildungBearbeiten

Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus. Genauer formuliert:

Sei   stetig differenzierbar und die Ableitung von   sei an der Stelle   invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung   von   in  , so dass   offen und die Einschränkung   ein Diffeomorphismus ist.

Diese Aussage gilt sowohl für Abbildungen zwischen offenen Mengen des   als auch für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.

BeispieleBearbeiten

  • Die Abbildung  , wobei  , ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge   und der Menge der reellen Zahlen  . Damit ist das offene Intervall   diffeomorph zu  .
  • Die Abbildung  ,  , ist bijektiv und differenzierbar. Sie ist aber kein Diffeomorphismus, denn   ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Diffeomorphie und HomöomorphieBearbeiten

Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in Dimension kleiner 4 impliziert Homöomorphie immer Diffeomorphie: Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner oder gleich 3, die homöomorph sind, sind auch diffeomorph. D. h., wenn es einen Homöomorphismus gibt, dann gibt es auch einen Diffeomorphismus. Dies bedeutet nicht, dass jeder Homöomorphismus ein Diffeomorphismus wäre.

In höheren Dimensionen ist dies nicht unbedingt der Fall. Ein prominentes Beispiel sind die Milnor-Sphären, nach John Willard Milnor: Sie sind homöomorph zur normalen 7-dimensionalen Sphäre, aber nicht diffeomorph. Für diese Entdeckung erhielt Milnor 1962 die Fields-Medaille.

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Jänich: Vektoranalysis. 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-23741-0 (Springer-Lehrbuch).
  • D. K. Arrowsmith, C. M. Place: An Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-30362-1.