Hauptmenü öffnen

Identische Abbildung

eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt
Graph der identischen Abbildung auf den reellen Zahlen

Eine identische Abbildung oder Identität ist in der Mathematik eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt. Obwohl die identische Abbildung oft durch „Identität“ abgekürzt wird, darf sie nicht mit einer Identitätsgleichung verwechselt werden.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Menge, dann ist die identische Abbildung auf   definiert durch

 

das heißt, für jedes   aus   gilt

 

Die identische Abbildung ist somit eine Bijektion. Der Index wird oft weggelassen, wenn die Definitionsmenge aus dem Kontext hervorgeht. In diesem Fall wird auch   statt   geschrieben. Statt der Notation   wird manchmal die Schreibweise  , mitunter auch nur   oder vor allem in der Funktionalanalysis  , benutzt.
Der Graph der identischen Abbildung ist die Diagonale[1]

 

EigenschaftenBearbeiten

Ist   eine beliebige Funktion, dann gilt für die Komposition (Hintereinanderausführung) mit der Identität:

 

und

 

Daher ist in der Menge aller Funktionen von   nach   die Identität das neutrale Element bezüglich der Komposition. Somit bilden diese Funktionen ein Monoid. Insbesondere ist die Identität das neutrale Element in der Gruppe der Permutationen der Menge  .

Die Identität   auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine multiplikative Funktion, die in der Zahlentheorie betrachtet wird.

Auf einem topologischen Raum ist die Identität eine stetige Funktion. Auf einem topologischen Vektorraum, zum Beispiel einem Banachraum, ist die Identität ein stetiger linearer Operator, der Einsoperator genannt wird. Ist der Banachraum zusätzlich endlichdimensional, so ist die Identität kompakt.

Die Matrizenmultiplikation mit der Einheitsmatrix (neutrales Element) ist eine Identitätsabbildung. In der linearen Algebra können Basiswechselmatrizen als Darstellungsmatrizen der identischen Abbildung bezüglich zweier unterschiedlicher Basen aufgefasst werden.

Die Existenz von Identitäten ist ein wesentlicher Bestandteil in der Definition der Kategorie. In den bekanntesten Fällen handelt es sich dabei um die identischen Abbildungen, aber in der Kategorientheorie können die Identitäten auch abstraktere Objekte sein. Aber auch dann werden die Bezeichnungen   oder   verwendet und es gelten die oben genannten Verknüpfungsregeln.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 59.