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Der Begriff linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet und sind diese mit einer Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume), so spricht man vorzugsweise von linearen Operatoren.

Im Gegensatz zu endlichdimensionalen Räumen, wo lineare Operatoren stets beschränkt sind, tauchen bei unendlichdimensionalen Räumen auch unbeschränkte lineare Operatoren auf.

DefinitionBearbeiten

Linearer OperatorBearbeiten

Es seien   und   reelle oder komplexe Vektorräume. Eine Abbildung   von   nach   heißt linearer Operator, wenn für alle   und   (bzw.  ) die folgenden Bedingungen gelten:

  1.   ist homogen:  
  2.   ist additiv:  

Antilinearer OperatorBearbeiten

Seien   und   komplexe Vektorräume. Ein Operator   von   in   heißt antilinearer Operator, wenn für alle   und   die folgenden Bedingungen gelten:

  1.   ist antihomogen:  
  2.   ist additiv:  

BeispieleBearbeiten

Lineare OperatorenBearbeiten

  • Es sei   eine reelle  -Matrix. Dann ist die lineare Abbildung   ein linearer Operator von   in  .
  • Die Menge der linearen Operatoren zwischen zwei fixierten Vektorräumen wird durch die Definition der Addition   und Skalarmultiplikation   selbst zu einem Vektorraum.
  • Der Ableitungsoperator  , der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet  , ist ein linearer Operator.
  • Seien   zwei reelle Zahlen. Der Operator  , der einer integrierbaren Funktion eine reelle Zahl zuordnet, ist linear.
  • Jedes lineare Funktional auf einem Vektorraum ist ein linearer Operator.

Antilinearer OperatorBearbeiten

  • Ist   ein komplexer Hilbertraum und   sein Dualraum, so gibt es nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz zu jedem   genau ein  , so dass   für alle   gilt. Die Abbildung   ist antilinear. Diese liegt darin begründet, dass ein komplexes Skalarprodukt   in der zweiten Variablen antilinear ist.

Bedeutung und AnwendungenBearbeiten

Die Bedeutung linearer Operatoren besteht darin, dass sie die lineare Struktur des unterliegenden Raumes respektieren, d. h., sie sind Homomorphismen zwischen Vektorräumen.

Anwendungen linearer Operatoren sind:

  • In der Vierpoltheorie (Elektrotechnik) werden die Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen (Stromstärke und Spannung) und den Ausgangsgrößen (Stromstärke und Spannung) als wechselseitig voneinander linear abhängig betrachtet. Die Abhängigkeiten können durch 2×2-Matrizen beschrieben werden.

Beschränkte lineare OperatorenBearbeiten

DefinitionenBearbeiten

Seien   und   zwei normierte Vektorräume und   ein linearer Operator. Die Operatornorm von   ist definiert durch

 ,

wobei für diese Konstante

 

gilt. Ist die Operatornorm endlich, so heißt der Operator beschränkt, andernfalls unbeschränkt.

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren vom normierten Raum   in den normierten Raum   nennt man  . Mit der Operatornorm ist dieser selbst ein normierter Vektorraum. Falls   vollständig ist, ist er sogar ein Banachraum.[1] Falls   mit   identisch ist, wird auch abkürzend   geschrieben. Die beschränkten linearen Operatoren lassen sich wie folgt charakterisieren:

Ist   ein linearer Operator von   nach  , dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1.   ist beschränkt, d. h. in   enthalten.
  2.   ist gleichmäßig stetig auf  .
  3.   ist stetig in jedem Punkt von  .
  4.   ist stetig in einem Punkt von  .
  5.   ist stetig in  .

Beispiele beschränkter linearer OperatorenBearbeiten

  •   mit  , wobei   der identische Operator auf   ist.
  •   mit  , wobei   eine orthogonale Projektion auf dem Hilbertraum   ist.
  •   mit  , wobei die Folge   beschränkt ist und als Diagonaloperator auf dem Folgenraum   mit   interpretiert wird.
  • Der Shiftoperator   ist beschränkt mit  , wobei   auf dem Folgenraum   mit   definiert ist.
  • Es sei   eine kompakte Menge und   der Banachraum der stetigen Funktionen auf   mit der Supremumsnorm. Weiter sei   und der lineare Operator   ist definiert durch   für  . Dann ist   und  .
  • Es sei   ein Maßraum und   der Lp-Raum der Äquivalenzklassen der in  -ter Potenz integrierbaren messbaren Funktionen auf   mit der Lp-Norm für  . Weiter sei   und der lineare Operator   definiert durch   für  . Dann ist   und  .

AnwendungenBearbeiten

  • Spektraltheorie
  • Funktionalkalkül, d. h. für eine beschränkte, reelle bzw. komplexwertige messbare Funktion   und einen beschränkten linearen Operator   kann   definiert werden.

Unbeschränkte lineare OperatorenBearbeiten

Bei der Betrachtung unbeschränkter linearer Operatoren lässt man oft auch Operatoren zu, deren Definitionsbereich (Domäne) lediglich ein Unterraum des betrachteten Raumes ist, spricht man etwa von unbeschränkten linearen Operatoren auf Hilberträumen, so lässt man als Definitionsbereich auch einen Prähilbertraum als Teilraum eines Hilbertraums zu, präziser spricht man dann von dicht definierten unbeschränkten linearen Operatoren (s. u.). Der Operator wird als partielle Abbildung aufgefasst.

Ein Operator heißt dicht definiert, wenn seine Domäne eine dichte Teilmenge des Ausgangsraumes ist. Das Interesse an unbeschränkten Operatoren ist durch die Untersuchung von Differentialoperatoren und deren Eigenwertspektrum und Observablenalgebren begründet.

Eine große Klasse unbeschränkter linearer Operatoren bilden die abgeschlossenen Operatoren. Das sind Operatoren  , deren Graph   in der Produkttopologie von   abgeschlossen ist. Für abgeschlossene Operatoren kann z. B. das Spektrum definiert werden.

Die Theorie der unbeschränkten Operatoren wurde von John von Neumann 1929 begründet. Im Jahr 1932 unabhängig von von Neumann entwickelte Marshall Harvey Stone die Theorie der unbeschränkten Operatoren.[2]

BeispielBearbeiten

Betrachte den Differentialoperator   auf dem Banachraum   der stetigen Funktionen auf dem Intervall  . Wählt man als Definitionsbereich   die einmal stetig differenzierbaren Funktionen  , dann ist   ein abgeschlossener Operator, der nicht beschränkt ist.

AnwendungenBearbeiten

  • Differential- und Multiplikationsoperatoren sind i. A. unbeschränkt.
  • Die Darstellung von Observablen der Quantenmechanik erfordert unbeschränkte lineare Operatoren, da die den Observablen zugeordneten Operatoren i. A. unbeschränkt sind.

Konvergenzbegriffe/Topologien auf OperatorräumenBearbeiten

Ist der zugrundeliegende Vektorraum endlichdimensional mit Dimension  , so ist   ein Vektorraum der Dimension  . In diesem Fall sind alle Normen äquivalent, das heißt, sie liefern den gleichen Konvergenzbegriff und die gleiche Topologie.

Im Unendlichdimensionalen gibt es dagegen verschiedene nicht-äquivalente Topologien. Seien nun   und   Banachräume und   eine Folge (oder auch ein Netz) in  .

NormtopologieBearbeiten

  konvergiert in der Normtopologie gegen   genau dann wenn:

 

Die Normtopologie ist die Topologie, die durch die offenen Kugeln erzeugt wird.

Starke OperatortopologieBearbeiten

  konvergiert in der starken Operatortopologie (kurz stop) gegen   genau dann, wenn es punktweise konvergiert:

 

oder anders ausgedrückt:

 

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Abbildungen

 

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Abbildungen stetig sind.   mit der starken Operatortopologie ist also ein lokalkonvexer Raum.

Alternativ ausgedrückt: Die starke Operatortopologie ist die Produkttopologie aller Funktionen von   nach  , eingeschränkt auf die (evtl. beschränkten) linearen Operatoren.

Schwache OperatortopologieBearbeiten

  konvergiert in der schwachen Operatortopologie gegen   genau dann, wenn

 

oder anders ausgedrückt:

 

(Hierbei bezeichnet   den stetigen Dualraum von F)

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Funktionalen

 

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Funktionale stetig sind.   mit der schwachen Operatortopologie ist also ebenfalls ein lokalkonvexer Raum.

LiteraturBearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7. Satz II.1.4.
  2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7. Kapitel VII.6.