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Bei gleichmäßig stetigen Funktionen kann um jeden Punkt des Graphen ein Rechteck mit Höhe und Breite eingezeichnet werden, ohne dass der Graph direkt ober-/unterhalb des Rechtecks liegt. Die Funktion ist gleichmäßig stetig. Hier verläuft der Graph nur innerhalb des Rechtecks. Bei der Funktion ist dies aber nicht der Fall. Bei kleinen Argumenten in der Nähe der Null verändert sich die Funktion so stark, dass Funktionswerte direkt ober- bzw. unterhalb des Rechtecks liegen.

Die Gleichmäßige Stetigkeit ist eine stärkere Form der Stetigkeit und damit ein Begriff der Analysis. Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion ist der Abstand beliebiger Paare von Funktionswerten kleiner als ein beliebig vorgegebener Maximalfehler, solange die Argumente hinreichend nah beieinanderliegen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Teilmenge von  , kurz  .

Eine Abbildung   heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

 .

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von   gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass   nur von   und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle   abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite   kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite   finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten   geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf  ).

BeispieleBearbeiten

Betrachte die Funktion

  mit  :

 

Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man in einem der  -Streifen zwei Punkte wählt, desto größer kann der Abstand der beiden Funktionswerte werden und somit unser gewähltes   übersteigen. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes   sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von   auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine.

Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion

  mit  

die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.

Verallgemeinerung: metrische RäumeBearbeiten

Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:

Seien   zwei metrische Räume. Eine Abbildung   heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

 .

Verallgemeinerung: uniforme RäumeBearbeiten

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion   zwischen zwei uniformen Räumen   und   gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also  

EigenschaftenBearbeiten

Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Die Umkehrung gilt nicht: Es gibt stetige Funktionen wie die Quadratfunktion, die nicht gleichmäßig stetig sind. Für gewisse Definitionsbereiche fallen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit wiederum zusammen. Der Satz von Heine besagt nämlich: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.

Ist   eine Cauchy-Folge im Raum   und ist   gleichmäßig stetig, so ist auch   eine Cauchy-Folge in  . Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel   und   zeigt.

Unmittelbar daraus, dass   Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abbildet, folgt nun: Ist   gleichmäßig stetig auf einer Menge  , dann ist   stetig fortsetzbar auf den Abschluss  .

Im   lässt sich anschaulich die Aussage treffen, dass eine gleichmäßig stetige Funktion (mit Werten in  ) keine Polstellen besitzen kann. Wie sollte sie auch, lässt sie sich doch – wie bereits dargestellt – stetig auf den Abschluss ihres Definitionsbereiches fortsetzen. Eine solche stetige Fortsetzung ist in einer Polstelle aber eben nicht möglich.

Spezielle Formen der gleichmäßigen Stetigkeit sind Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit.

VisualisierungBearbeiten

Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion kann für jeden vorgegebenen Maximalfehler   ein   gefunden werden, so dass sich alle Paare von Funktionswerten   und   um maximal   unterscheiden, solange die Abstände von   und   kleiner als   sind. Dementsprechend kann um jeden Punkt   des Graphen ein Rechteck mit Höhe   und Breite   eingezeichnet werden, bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verläuft, so dass keine Funktionswerte direkt ober- beziehungsweise unterhalb des Rechtecks liegen. Bei nicht gleichmäßig stetigen Funktionen ist dies nicht möglich. Zum Teil verläuft zwar der Graph im Inneren des Rechtecks – aber nicht überall.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

QuellenBearbeiten