Normtopologie

in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum

Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum, die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde.

DefinitionBearbeiten

 
Beziehungen zwischen Norm, Metrik und Topologie

Ist   ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren   eine Metrik

 .

auf  . Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum  . Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor   durch

 

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge   offen, falls

 

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf   eine Topologie

 .

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum   und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

Topologie-AxiomeBearbeiten

Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

  1. Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
    Die leere Menge ist offen, da es kein   gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge   ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
  2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
    Seien die Mengen   mit   offen. Dann existieren Schranken   und ein   aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass   für   gilt. Wählt man nun  , dann ist   und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
  3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
    Sei   nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen   für   offen. Liegt   in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index   mit   und eine Schranke  , sodass   gilt. Daraus folgt dann   und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie. Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach-*-Topologie zu unterscheiden.
  • Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch, da zwei Vektoren   mit   durch Umgebungen   und   mit   voneinander getrennt werden.
  • Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt.

LiteraturBearbeiten