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Norm (Mathematik)

Abbildung, die ein mathematischen Objekt beschreiben soll
Mengen konstanter Norm (Normsphären) der Maximumsnorm (Würfeloberfläche) und der Summennorm (Oktaederoberfläche) von Vektoren in drei Dimensionen

Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll. Die konkrete Bedeutung von „Größe“ hängt dabei vom betrachteten Objekt und der verwendeten Norm ab, beispielsweise kann eine Norm die Länge eines Vektors, den größten Singulärwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion darstellen. Eine Norm wird durch zwei senkrechte Striche links und rechts des Objekts symbolisiert.

Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums über den reellen oder komplexen Zahlen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet und die drei Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität besitzt. Eine Norm kann (muss aber nicht) von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Wird ein Vektorraum mit einer Norm versehen, erhält man einen normierten Raum mit wichtigen analytischen Eigenschaften, da jede Norm auf einem Vektorraum auch eine Metrik und damit eine Topologie induziert. Zwei zueinander äquivalente Normen induzieren dabei die gleiche Topologie, wobei auf endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen zueinander äquivalent sind.[1]

Normen werden insbesondere in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle.

GrundbegriffeBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen; Gleichheit gilt genau dann, wenn die Vektoren x und y in die gleiche Richtung zeigen.

Eine Norm ist eine Abbildung   von einem Vektorraum   über dem Körper   der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen  ,

 ,

die für alle Vektoren   und alle Skalare   die folgenden drei Axiome erfüllt:

(1) Definitheit:  ,
(2) absolute Homogenität:  ,
(3) Subadditivität oder Dreiecksungleichung:  .

Hierbei bezeichnet   den Betrag des Skalars.

Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt.[2][3] Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand   zwischen Vektoren   und   verwendet.[4]

BeispielBearbeiten

Das Standardbeispiel einer Norm ist die euklidische Norm eines Vektors   (mit Ursprung im Nullpunkt) in der Ebene  ,

 ,

die der anschaulichen Länge des Vektors entspricht. Beispielsweise ist die euklidische Norm des Vektors   gleich  . Die Definitheit bedeutet dann, dass, wenn die Länge eines Vektors null ist, dieser der Nullvektor sein muss. Die absolute Homogenität besagt, dass, wenn jede Komponente eines Vektors mit einer Zahl multipliziert wird, sich seine Länge um den Faktor des Betrags dieser Zahl ändert. Die Dreiecksungleichung sagt schließlich aus, dass die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der beiden Längen ist.

Grundlegende EigenschaftenBearbeiten

Aus der absoluten Homogenität folgt durch Setzen von   direkt

 ,

also die umgekehrte Richtung der Definitheit. Daher besitzt ein Vektor   genau dann die Norm Null, wenn er der Nullvektor ist. Weiterhin folgt aus der absoluten Homogenität durch Setzen von  

    und damit    ,

also Symmetrie bezüglich Vorzeichenumkehr. Aus der Dreiecksungleichung folgt dann durch Setzen von  , dass eine Norm immer nichtnegativ ist, also

 

gilt. Damit besitzt jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor eine positive Norm. Weiterhin gilt für Normen die umgekehrte Dreiecksungleichung

 ,

was durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf   und Berücksichtigung der Symmetrie gezeigt werden kann. Damit ist jede Norm eine gleichmäßig stetige Abbildung. Zudem ist eine Norm aufgrund der Subadditivität und absoluten Homogenität eine sublineare und damit konvexe Abbildung, das heißt für alle   gilt

 .

NormkugelnBearbeiten

 
Einheitskugel (rot) und -sphäre (blau) für die euklidische Norm in zwei Dimensionen

Für einen gegebenen Vektor   und einen Skalar   mit   heißt die Menge

     bzw.     

offene bzw. abgeschlossene Normkugel und die Menge

 

Normsphäre um   mit Radius  . Die Begriffe „Kugel“ bzw. „Sphäre“ sind dabei sehr allgemein zu sehen – beispielsweise kann eine Normkugel auch Ecken und Kanten besitzen – und fallen nur im Spezialfall der euklidischen Vektornorm mit dem aus der Geometrie bekannten Kugelbegriff zusammen. Wählt man in der Definition   und  , so nennt man die entstehenden Mengen Einheitskugel bzw. Einheitssphäre. Jede Normkugel bzw. Normsphäre entsteht aus der entsprechenden Einheitskugel bzw. Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor   und Translation um den Vektor  . Ein Vektor der Einheitssphäre heißt Einheitsvektor; zu jedem Vektor   erhält man durch Normierung   den zugehörigen Einheitsvektor.

In jedem Fall muss eine Normkugel eine konvexe Menge sein, da sonst die entsprechende Abbildung die Dreiecksungleichung nicht erfüllen würde. Weiterhin muss eine Normkugel aufgrund der absoluten Homogenität immer punktsymmetrisch bezüglich   sein. Eine Norm lässt sich in endlichdimensionalen Vektorräumen auch über die zugehörige Normkugel definieren, wenn diese Menge konvex, punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunktes, abgeschlossen und beschränkt ist und den Nullpunkt im Inneren hat. Die entsprechende Abbildung wird auch Minkowski-Funktional oder Eichfunktional genannt. Hermann Minkowski untersuchte solche Eichfunktionale bereits 1896 im Rahmen zahlentheoretischer Fragestellungen.[4]

Induzierte NormenBearbeiten

Eine Norm kann, muss aber nicht notwendigerweise, von einem Skalarprodukt   abgeleitet werden. Die Norm eines Vektors   ist dann definiert als

 ,

also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Man spricht in diesem Fall von der durch das Skalarprodukt induzierten Norm oder Hilbertnorm. Jede durch ein Skalarprodukt induzierte Norm erfüllt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

und ist invariant unter unitären Transformationen. Nach dem Satz von Jordan-von Neumann ist dabei eine Norm genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfüllt. Einige wichtige Normen sind jedoch nicht von einem Skalarprodukt abgeleitet; historisch gesehen bestand sogar ein wesentlicher Schritt bei der Entwicklung der Funktionalanalysis in der Einführung von Normen, die nicht auf einem Skalarprodukt basieren.[5] Zu jeder Norm gibt es jedoch ein zugehöriges semi-inneres Produkt.

Normen auf endlichdimensionalen VektorräumenBearbeiten

ZahlnormenBearbeiten

BetragsnormBearbeiten

 
Betragsnorm einer reellen Zahl

Der Betrag einer reellen Zahl   ist ein einfaches Beispiel für eine Norm. Man erhält die Betragsnorm durch Weglassen des Vorzeichens der Zahl, also

 

Der Betrag einer komplexen Zahl   ist entsprechend dazu durch

 

definiert, wobei   die komplex konjugierte Zahl zu   ist und   bzw.   den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl angibt. Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht damit der Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene.

Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexen Zahlen

    für        bzw.        für    

induziert.

VektornormenBearbeiten

Im Folgenden werden reelle oder komplexe Vektoren   endlicher Dimension   betrachtet. Ein Vektor (im engeren Sinn) ist dann ein Tupel   mit Einträgen   für  . Für die folgenden Definitionen ist es unerheblich, ob es sich um einen Zeilen- oder einen Spaltenvektor handelt. Für   entsprechen alle folgenden Normen der Betragsnorm des vorangegangenen Abschnitts.

MaximumsnormBearbeiten

 
Maximumsnorm   in zwei Dimensionen

Die Maximumsnorm, Tschebyschew-Norm oder ∞-Norm (Unendlich-Norm) eines Vektors ist definiert als

 

und entspricht dem Betrag der betragsgrößten Komponente des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Maximumsnorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Würfels und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Hyperwürfels.

Die Maximumnorm ist nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von ihr abgeleitete Metrik heißt Maximum-Metrik, Tschebyschow-Metrik oder, insbesondere in zwei Dimensionen, Schachbrett-Metrik, da sie den Abstand entsprechend der Anzahl der Schritte misst, die ein König im Schach machen muss, um von einem Feld auf dem Schachbrett zu einem anderen Feld zu kommen. Da der König diagonal ziehen kann, ist beispielsweise der Abstand der Mittelpunkte der beiden schräg gegenüberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Maximum-Metrik gleich  .

Die Maximumsnorm ist ein Spezialfall der Produktnorm

 

über dem Produktraum   von   normierten Vektorräumen   mit   und  .

Euklidische NormBearbeiten

 
Euklidische Norm   in zwei Dimensionen

Die euklidische Norm oder 2-Norm eines Vektors ist definiert als

 

und entspricht der Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate der Komponenten des Vektors. Bei reellen Vektoren kann in der Definition auf die Betragsstriche verzichtet werden, bei komplexen Vektoren jedoch nicht.

Die Einheitssphäre der reellen euklidischen Norm hat in zwei Dimensionen die Form eines Kreises, in drei Dimensionen die Form einer Kugeloberfläche und in allgemeinen Dimensionen die Form einer Sphäre. In zwei und drei Dimensionen beschreibt die euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors in der Ebene bzw. im Raum. Die euklidische Norm ist als einzige Vektornorm invariant unter unitären Transformationen, beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.

Die euklidische Norm wird vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexer Vektoren   gegeben durch

     bzw.     

induziert. Ein mit der euklidischen Norm versehener Vektorraum wird euklidischer Raum genannt. Die von der euklidischen Norm abgeleitete Metrik heißt euklidische Metrik. Beispielsweise ist der Abstand der Mittelpunkte der beiden schräg gegenüberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der euklidischen Metrik nach dem Satz des Pythagoras gleich  .

SummennormBearbeiten

 
Summennorm   in zwei Dimensionen

Die Summennorm, (genauer) Betragssummennorm, oder 1-Norm (lies: „Einsnorm“) eines Vektors ist definiert als

 

und entspricht der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops.

Die Summennorm ist nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik heißt speziell im reellen zweidimensionalen Raum auch Manhattan-Metrik oder Taxi-Metrik, da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan misst, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Beispielsweise ist der Abstand der Mittelpunkte der beiden schräg gegenüberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Manhattan-Metrik gleich  .

p-NormenBearbeiten

 
Einheitskreise verschiedener  -Normen in zwei Dimensionen

Allgemein lässt sich für reelles   die  -Norm eines Vektors durch

 

definieren. Für   erhält man so die Summennorm, für   die euklidische Norm und als Grenzwert für   die Maximumsnorm. Die Einheitssphären der  -Normen haben im reellen Fall in zwei Dimensionen die Form von Superellipsen   bzw. Subellipsen   und in drei und höheren Dimensionen die Form von Superellipsoiden bzw. Subellipsoiden.

Alle  -Normen inklusive der Maximumsnorm erfüllen die Minkowski-Ungleichung sowie die Hölder-Ungleichung. Sie sind für wachsendes   monoton fallend und zueinander äquivalent. Als eingrenzende Faktoren ergeben sich für  

 ,

wobei im Fall der Maximumsnorm der Exponent   gesetzt wird. Die  -Normen unterscheiden sich somit maximal um den Faktor  . Die analog zu den  -Normen für   definierten Abbildungen sind keine Normen, da die resultierenden Normkugeln nicht mehr konvex sind und somit die Dreiecksungleichung verletzt wird.

MatrixnormenBearbeiten

Im Folgenden werden reelle oder komplexe Matrizen   mit   Zeilen und   Spalten betrachtet. Für Matrixnormen wird neben den drei Normeigenschaften manchmal die Submultiplikativität

 

mit   als weitere definierende Eigenschaft verlangt. Ist eine Matrixnorm submultiplikativ, dann ist der Spektralradius der Matrix (der Betrag des betragsgrößten Eigenwerts) maximal so groß wie die Norm der Matrix. Es gibt jedoch auch Matrixnormen mit den üblichen Normeigenschaften, die nicht submultiplikativ sind. Meist wird bei der Definition einer Matrixnorm eine Vektornorm zugrunde gelegt. Eine Matrixnorm heißt dabei mit einer Vektornorm verträglich, wenn

 

für alle   gilt.

Matrixnormen über VektornormenBearbeiten

Indem alle Einträge einer Matrix untereinander geschrieben werden, kann eine Matrix auch als entsprechend langer Vektor aus   angesehen werden. Damit können Matrixnormen direkt über Vektornormen definiert werden, insbesondere über die  -Normen durch

 ,

wobei   die Einträge der Matrix sind. Beispiele für so definierte Matrixnormen sind die auf der Maximumsnorm basierende Gesamtnorm und die auf der euklidischen Norm basierende Frobeniusnorm, die beide submultiplikativ und mit der euklidischen Norm verträglich sind.

Matrixnormen über OperatornormenBearbeiten

 
Die Spektralnorm einer 2 × 2 Matrix entspricht der größten Streckung des Einheitskreises durch die Matrix

Eine Matrixnorm heißt von einer Vektornorm induziert oder natürliche Matrixnorm, wenn sie als Operatornorm abgeleitet ist, falls also gilt:

 .

Anschaulich entspricht eine so definierte Matrixnorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor nach Anwendung der Matrix auf einen Vektor. Als Operatornormen sind solche Matrixnormen stets submultiplikativ und mit der Vektornorm, aus der sie abgeleitet wurden, verträglich. Eine Operatornorm ist sogar unter allen mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen diejenige mit dem kleinsten Wert. Beispiele für so definierte Matrixnormen sind die auf der Maximumsnorm basierende Zeilensummennorm, die auf der euklidischen Norm basierende Spektralnorm und die auf der Summennorm basierende Spaltensummennorm.

Matrixnormen über SingulärwerteBearbeiten

Eine weitere Möglichkeit, Matrixnormen über Vektornormen abzuleiten, ist es eine Singulärwertzerlegung einer Matrix   in eine unitäre Matrix  , eine Diagonalmatrix   und eine adjungierte unitäre Matrix   zu betrachten. Die nichtnegativen, reellen Einträge   von   sind dann die Singulärwerte von   und gleich den Quadratwurzeln der Eigenwerte von  . Die Singulärwerte werden dann zu einem Vektor   zusammengefasst, dessen Vektornorm betrachtet wird, also

 .

Beispiele für so definierte Matrixnormen sind die über die  -Normen des Vektors der Singulärwerte definierten Schatten-Normen und die auf der Summe der größten Singulärwerte basierenden Ky-Fan-Normen.

Weiterführende BegriffeBearbeiten

Normierte RäumeBearbeiten

 
Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm, Metrik und Topologie

Wird ein Vektorraum   mit einer Norm versehen, so erhält man einen normierten Raum   mit wichtigen analytischen Eigenschaften. So induziert jede Norm zwischen Vektoren   durch Differenzenbildung eine Metrik

 .

Mit dieser Fréchet-Metrik wird ein normierter Raum zu einem metrischen Raum und weiterhin mit der von der Metrik induzierten Topologie zu einem topologischen Raum, sogar zu einem Hausdorff-Raum. Die Norm ist dann eine stetige Abbildung bezüglich dieser Normtopologie. Eine Folge   strebt damit genau dann gegen einen Grenzwert  , wenn   gilt. Konvergiert in einem normierten Raum jede Cauchy-Folge gegen einen Grenzwert in diesem Raum, so spricht man von einem vollständigen normierten Raum oder Banachraum.[6]

Normierte AlgebrenBearbeiten

Versieht man den Vektorraum   zudem mit einem assoziativen und distributiven Vektorprodukt  , dann ist   eine assoziative Algebra. Ist nun   ein normierter Raum und diese Norm submultiplikativ, das heißt für alle Vektoren   gilt

 ,

dann erhält man eine normierte Algebra. Ist der normierte Raum vollständig, spricht man auch von einer Banachalgebra.[6] Beispielsweise ist der Raum der quadratischen Matrizen   mit der Matrizenaddition und -multiplikation sowie einer submultiplikativen Matrixnorm eine solche Banachalgebra.

HalbnormenBearbeiten

Wird auf das erste Normaxiom Definitheit verzichtet, dann ist   nur eine Halbnorm (beziehungsweise eine Seminorm). Aufgrund der Homogenität und der Subadditivität ist dann die Menge

 

der Vektoren mit Norm Null ein Untervektorraum von  . Auf diese Weise kann eine Äquivalenzrelation auf   durch

 

definiert werden. Identifiziert man nun in einem neuen Raum   alle so äquivalenten Elemente als gleich, dann ist   zusammen mit der Norm   ein normierter Raum. Man nennt diesen Vorgang Restklassenbildung in   bezüglich der Halbnorm und bezeichnet   als Faktorraum  .[7] Durch eine Menge von Halbnormen lassen sich auch spezielle topologische Vektorräume, die lokalkonvexen Räume, definieren.

Äquivalenz von NormenBearbeiten

 
Äquivalenz der euklidischen Norm (blau) und der Maximumsnorm (rot) in zwei Dimensionen

Zwei Normen   und   heißen äquivalent, wenn es zwei positive Konstanten   und   gibt, sodass für alle  

 

gilt, also wenn eine Norm durch die andere Norm nach oben und nach unten abgeschätzt werden kann. Äquivalente Normen induzieren dieselbe Topologie. Konvergiert eine Folge bezüglich einer Norm, so konvergiert sie auch bezüglich einer zu ihr äquivalenten Norm.[8]

Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen zueinander äquivalent, da die Normkugeln dann nach dem Satz von Heine-Borel kompakte Mengen sind. Auf unendlichdimensionalen Räumen sind jedoch nicht alle Normen zueinander äquivalent. Ist ein Vektorraum aber bezüglich zweier Normen vollständig, so sind diese beiden Normen bereits dann äquivalent, wenn es eine positive Konstante   gibt, sodass

 

gilt, da es eine stetige lineare Abbildung zwischen den beiden Banachräumen gibt, deren Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen ebenfalls stetig ist.

Duale NormenBearbeiten

Der Dualraum   eines normierten Vektorraums   über einem Körper   ist der Raum der stetigen linearen Funktionale von   nach  . Beispielsweise kann der Dualraum zu dem Raum der  -dimensionalen (Spalten-)Vektoren als der Raum der Linearkombinationen der Vektorkomponenten, also der Raum der Zeilenvektoren der gleichen Dimension gesehen werden. Die zu einer Norm   duale Norm   eines Funktionals   ist dann definiert durch

 .

Mit dieser Norm ist der Dualraum ebenfalls ein normierter Raum. Der Dualraum mit der Dualnorm ist stets vollständig, unabhängig von der Vollständigkeit des Ausgangsraums.[9] Sind zwei Normen zueinander äquivalent, dann sind die zugehörigen dualen Normen ebenfalls zueinander äquivalent. Für duale Normen ergibt sich aus obiger Definition als Supremum sofort folgende wichtige Ungleichung

 .

Normen auf unendlichdimensionalen VektorräumenBearbeiten

FolgennormenBearbeiten

Nun werden reell- oder komplexwertige Folgen   mit Folgengliedern   für   betrachtet. Folgen sind damit eine direkte Verallgemeinerung von Vektoren endlicher Dimension. Im Gegensatz zu endlichdimensionalen Vektoren können Folgen unbeschränkt sein, wodurch die bisherigen Vektornormen nicht direkt auf Folgen übertragen werden können. Beispielsweise ist das Betragsmaximum oder die Betragssumme der Folgenglieder einer unbeschränkten Folge unendlich und damit keine reelle Zahl mehr. Daher müssen die betrachteten Folgenräume entsprechend eingeschränkt werden, damit die zugeordneten Normen endlich sind.

SupremumsnormBearbeiten

 
Die alternierende harmonische Folge   ist eine Nullfolge mit Supremumsnorm 1.

Die Supremumsnorm einer beschränkten Folge ist definiert als

 .

Die Menge der beschränkten Folgen  , die Menge der konvergenten Folgen   und die Menge der gegen Null konvergenten Folgen (Nullfolgen)   sind zusammen mit der Supremumsnorm vollständige normierte Räume.[6]

bv-NormBearbeiten

Die  -Norm einer Folge von beschränkter Variation ist definiert als

 .

Mit der  -Norm wird der Folgenraum   ein vollständiger normierter Raum, da jede Folge mit beschränkter Variation eine Cauchy-Folge ist. Für den Teilraum   der Nullfolgen mit beschränkter Variation erhält man die  -Norm durch Weglassen des ersten Terms, also

 ,

und mit dieser Norm ist der Raum   ebenfalls vollständig.

p-NormenBearbeiten

Die  -Normen sind die Verallgemeinerung der  -Normen auf Folgenräume, wobei lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt wird. Die  -Norm einer in  -ter Potenz betragsweise summierbaren Folge ist für reelles   dann definiert als

 .

Versehen mit diesen Normen werden die  -Räume jeweils zu vollständigen normierten Räumen.[6] Für den Grenzwert   ergibt sich der Raum der beschränkten Folgen   mit der Supremumsnorm. Der Raum   ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

 

zweier Folgen. Die zu einer  -Norm mit   duale Norm ist die  -Norm mit  . Der Raum   ist jedoch nicht dual zum Raum  , sondern dual zum Raum der konvergenten Folgen   und zum Raum der Nullfolgen   jeweils mit der Supremumsnorm.

FunktionennormenBearbeiten

Im Folgenden werden reell- oder komplexwertige Funktionen   auf einer Menge   betrachtet. Oft ist   ein topologischer Raum, damit man über Stetigkeit sprechen kann, in vielen Anwendungen ist   eine Teilmenge des  . Ebenso wie Folgen können auch Funktionen prinzipiell unbeschränkt sein. Daher müssen die betrachteten Funktionenräume entsprechend eingeschränkt werden, damit die zugeordneten Normen endlich sind. Die wichtigsten solcher Funktionenräume sind Klassen beschränkter, stetiger, integrierbarer oder differenzierbarer Funktionen. Allgemeiner können die folgenden Funktionenräume und -normen auch für Banachraum-wertige Funktionen definiert werden, wenn der Absolutbetrag   durch die Norm des Banachraums ersetzt wird.

SupremumsnormBearbeiten

Die Supremumsnorm einer beschränkten Funktion, also einer Funktion, deren Bild eine beschränkte Teilmenge von   ist, ist definiert als

 .

Die Menge der beschränkten Funktionen ist mit der Supremumsnorm ein vollständiger normierter Raum.[10]

BV-NormBearbeiten

Die  -Norm einer eindimensionalen Funktion mit beschränkter Variation auf einem Intervall   ist in Analogie zur  -Norm einer Folge definiert als

 ,

wobei   eine Partition des Intervalls   und das Supremum über alle möglichen Partitionen genommen wird. Eine Funktion ist genau dann von beschränkter Variation, wenn sie sich als Summe einer monoton steigenden und einer monoton fallenden Funktion darstellen lässt. Die Menge der Funktionen beschränkter Variation ist mit der  -Norm ein vollständiger normierter Raum. Alternativ kann als Normierungsterm statt   auch das Integral der Funktion über das Intervall gewählt werden.[11] Für  -Normen und die zugehörigen Räume von Funktionen beschränkter Variation gibt es eine Reihe mehrdimensionaler Verallgemeinerungen, beispielsweise die Fréchet-Variation, die Vitali-Variation und die Hardy-Variation.

MaximumsnormBearbeiten

Die Maximumsnorm einer stetigen Funktion auf einer kompakten Menge ist definiert als

 .

Nach dem Extremwertsatz nimmt eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Maximum an. Der Raum der stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge ist mit der Maximumsnorm ein vollständiger normierter Raum.[12]

Hölder-NormenBearbeiten

Die Hölder-Norm einer Hölder-stetigen Funktion mit Hölderexponent   ist definiert als

 ,

wobei die Hölder-Konstante der Funktion durch

 

gegeben ist. Die Hölder-Konstante ist eine spezielle Form eines Stetigkeitsmoduls und stellt selbst eine Halbnorm dar. Die Räume der Hölder-stetigen Funktionen sind mit den jeweiligen Hölder-Normen vollständige normierte Räume. Im Spezialfall   spricht man von einer Lipschitz-stetigen Funktion, der Lipschitz-Konstante und der Lipschitz-Norm.[13]

Wesentliche SupremumsnormBearbeiten

Die  -Norm einer fast überall beschränkten Funktion auf einem Maßraum   ist definiert als

 ,

wobei   eine Nullmenge, also ein Element aus der σ-Algebra   mit  -Maß Null, ist. Eine fast überall beschränkte Funktion kann also an manchen Punkten   einen betragsmäßig höheren Wert als ihr wesentliches Supremum annehmen. Die wesentliche Supremumsnorm ist im Allgemeinen nur eine Halbnorm, da die Menge der Funktionen mit Norm Null nicht nur die Nullfunktion, sondern beispielsweise auch alle Funktionen umfasst, die davon abweichend auf Nullmengen Werte ungleich Null annehmen. Daher betrachtet man die Menge der Äquivalenzklassen   von Funktionen  , die fast überall gleich sind, und nennt den entsprechenden Faktorraum  . Auf diesem Raum ist die wesentliche Supremumsnorm definiert als

 

tatsächlich eine Norm, wobei der Wert auf der rechten Seite unabhängig von der Wahl des Repräsentanten   aus der Äquivalenzklasse   ist. Oft wird ungenau   statt   geschrieben, wobei dann davon ausgegangen wird, dass   nur ein Repräsentant der Äquivalenzklasse ist. Der Raum der Äquivalenzklassen von wesentlich beschränkten Funktionen   ist mit der wesentlichen Supremumsnorm ein vollständiger normierter Raum.[14]

Lp-NormenBearbeiten

Die  -Normen einer in  -ter Potenz Lebesgue-integrierbaren Funktion mit   sind in Analogie zu den  -Normen definiert als

 ,

wobei die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Ebenso wie bei der wesentlichen Supremumsnorm sind diese Normen zunächst nur Halbnormen, da nicht nur die Nullfunktion, sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man wieder die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen  , die fast überall gleich sind, und definiert auf diesen  -Räumen die  -Normen durch

 .

Nach dem Satz von Fischer-Riesz sind alle  -Räume mit der jeweiligen  -Norm vollständige normierte Räume. Der Raum   ist der Raum der (Äquivalenzklassen von) Lebesgue-integrierbaren Funktionen. Der Raum   der quadratisch integrierbaren Funktionen ist ein Hilbertraum mit Skalarprodukt

 

und für den Grenzwert   ergibt sich der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen  . Die zu der  -Norm für   duale Norm ist die  -Norm mit  . Die  -Normen und -Räume lassen sich von dem Lebesgue-Maß auf allgemeine Maße verallgemeinern, wobei die Dualität für   nur in bestimmten Maßräumen gilt, siehe Dualität von Lp-Räumen.[15]

Cm-NormenBearbeiten

Die  -Norm einer  -mal stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge  , deren partielle Ableitungen auf dem Abschluss der Menge   stetig fortsetzbar sind, ist definiert als

 ,

wobei   ein Multiindex aus nichtnegativen ganzen Zahlen,   die zugehörige gemischte partielle Ableitung der Funktion und   die Ordnung der Ableitung sind. Die  -Norm entspricht damit der Supremumsnorm und die  -Norm dem Maximum der Funktion und ihrer ersten Ableitungen. Die Räume   sind mit der jeweiligen  -Norm vollständige normierte Räume. Alternativ wird die  -Norm über die Summe der Einzelnormen statt über ihr Maximum definiert, beide Normen sind aber zueinander äquivalent.[16]

Analog ist die  -Norm einer  -mal stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge, deren gemischte partielle Ableitungen auf dem Abschluss der Menge stetig fortsetzbar sind und deren Hölder-Konstanten der Ableitungen bis zum Grad   beschränkt sind,  , definiert als

 .

Die Räume dieser Hölder-stetig differenzierbaren Funktionen sind mit den jeweiligen  -Normen ebenfalls vollständige normierte Räume.[17]

Sobolev-NormenBearbeiten

Die Sobolev-Norm einer  -mal schwach differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge, deren gemischte schwache Ableitungen   bis zum Grad   in  -ter Potenz Lebesgue-integrierbar sind, ist für   definiert als

 

und für   als

 .

Betrachtet man in der Summe nur die gemischten Ableitungen der Ordnung  , so erhält man nur eine Halbnorm, die auf allen Polynomen vom Grad kleiner als   verschwindet. Die Sobolev-Räume   der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad   in   liegen, sind mit der jeweiligen Sobolev-Norm vollständige normierte Räume. Insbesondere sind die Räume   Hilberträume mit Skalarprodukt

 .

Sobolev-Normen spielen eine wichtige Rolle in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen als natürliche Definitionsbereiche der Differentialoperatoren oder bei Fehlerabschätzungen von Finite-Elemente-Verfahren zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen.[18]

Normen auf OperatorenBearbeiten

Im Folgenden werden lineare Operatoren   zwischen zwei Vektorräumen   und   betrachtet. Dabei wird angenommen, dass diese Vektorräume bereits selbst normierte Räume sind.

OperatornormBearbeiten

Die Operatornorm eines beschränkten linearen Operators zwischen zwei normierten Räumen ist definiert als

 .

Ist   eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen, so ist ihre Operatornorm nach Wahl einer Basis eine natürliche Matrixnorm. Ist der Vektorraum   vollständig, dann ist auch der Raum der beschränkten (und damit stetigen) linearen Operatoren von   nach   vollständig. Operatornormen sind immer submultiplikativ, sind demnach die beiden Vektorräume gleich und vollständig, dann ist der Raum der stetigen linearen Operatoren mit der Operatornorm und der Komposition eine Banachalgebra.[19]

Nukleare NormBearbeiten

Die nukleare Norm eines nuklearen Operators zwischen zwei Banachräumen ist definiert als

 ,

wobei   eine Folge von Vektoren im Dualraum   und   eine Folge von Vektoren in   ist, so dass   die Gestalt   hat, und das Infimum über alle solche nuklearen Darstellungen genommen wird. Sind die beiden Vektorräume Hilberträume wird die entsprechende nukleare Norm auch Spurnorm genannt. Der Raum der nuklearen Operatoren ist mit der nuklearen Norm ein vollständiger normierter Raum.[20]

Hilbert-Schmidt-NormBearbeiten

Die Hilbert-Schmidt-Norm eines Hilbert-Schmidt-Operators zwischen zwei Hilberträumen ist definiert als

 ,

wobei   eine Orthonormalbasis von   ist. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert die Frobeniusnorm auf den Fall unendlichdimensionaler Hilberträume. Die Hilbert-Schmidt-Norm ist von dem Skalarprodukt  , wobei   der adjungierte Operator zu   ist, induziert. Die Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm selbst einen Hilbertraum und für   eine Banachalgebra, sogar eine H*-Algebra.[21]

Schatten-NormenBearbeiten

Die Schatten- -Norm eines kompakten linearen Operators zwischen zwei separablen Hilberträumen ist für   definiert als

 ,

wobei   die Folge der Singulärwerte des Operators ist. Im Fall   ergibt sich die Spurnorm und im Fall   die Hilbert-Schmidt-Norm. Die Menge der kompakten linearen Operatoren, deren Singulärwerte in   liegen, bildet mit der jeweiligen Schatten- -Norm einen vollständigen normierten Raum und für   eine Banachalgebra.[22]

VerallgemeinerungenBearbeiten

Gewichtete NormenBearbeiten

Gewichtete Normen sind Normen auf gewichteten Vektorräumen. Beispielsweise erhält man induzierte gewichtete Funktionennormen durch Multiplikation mit einer geeigneten positiven Gewichtsfunktion   über

     mit     ,

wobei   ein gewichtetes  -Skalarprodukt ist. Die Einführung von Gewichtsfunktionen erlaubt es Funktionenräume zu erweitern, beispielsweise auf Funktionen, deren Norm im ungewichteten Fall unbeschränkt wäre, oder einzuschränken, beispielsweise auf Funktionen, die ein bestimmtes Abfallverhalten aufweisen.

QuasinormenBearbeiten

 
Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist in zwei Dimensionen eine Astroide.

Wird die Dreiecksungleichung dahingehend abgeschwächt, dass lediglich eine reelle Konstante   existiert, sodass für alle  

 

gilt, so nennt man die entsprechende Abbildung Quasinorm und einen mit einer solchen Quasinorm versehenen Vektorraum quasinormierter Raum. Beispielsweise sind die  -Normen für   Quasinormen und die zugehörigen  -Räume quasinormierte Räume, sogar Quasi-Banachräume.

Bewertete Körper und ModulnBearbeiten

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper   der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern  , also Körpern mit einem Absolutbetrag  , zugelassen werden.[23] Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen  -(Links)-Modul   über einem unitären Ring mit Betrag   ersetzt wird. Eine Funktion   heißt dann Norm auf dem Modul  , wenn für alle   und alle Skalare   die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring   der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul   die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 13. Auflage. Teubner Verlag, 2004, ISBN 3-519-62232-7, S. 19 f.
  2. Stefan Banach: Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. In: Fundamenta Mathematicae. Nr. 3, 1922.
  3. Werner: Funktionalanalysis. Springer, 2007, S. 41.
  4. a b Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, 2009, S. 511–512.
  5. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 11.
  6. a b c d Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 26–27.
  7. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 12.
  8. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 20.
  9. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 132.
  10. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 36.
  11. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 190.
  12. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 39.
  13. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 43–44.
  14. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 49.
  15. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 49–50.
  16. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 41–43.
  17. Hans Triebel: Höhere Analysis, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972, 2. Auflage, Harri Deutsch 1980, ISBN 3-87144-583-5, Bemerkung 3.4
  18. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2007, S. 62–65.
  19. Michel M. Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances. Springer, 2009, S. 236.
  20. Michel M. Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances. Springer, 2009, S. 236–237.
  21. Michel M. Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances. Springer, 2009, S. 237–238.
  22. Michel M. Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances. Springer, 2009, S. 238.
  23. Falko Lorenz: Einführung in die Algebra II. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1997, S. 69.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Vector norms – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien