Schwach-*-Topologie

Topologie auf topologischen Dualräumen

Die schwach-*-Topologie ist eine wichtige Topologie auf dem Dualraum eines normierten (oder allgemeiner lokalkonvexen) Raums. Die Bedeutung beruht u. a. auf dem Satz von Banach-Alaoglu, wonach die Einheitskugel im Dualraum bezüglich dieser Topologie kompakt ist. Die schwach-*-Topologie spielt eine wichtige Rolle in vielen funktionalanalytischen Konstruktionen, so zum Beispiel in der Gelfand-Transformation oder im Satz von Mackey-Arens, der diejenigen Topologien auf einem lokalkonvexen Raum beschreibt, die zum selben topologischen Dualraum wie die Ausgangstopologie führen.

DefinitionBearbeiten

Jedes Element   aus einem normierten oder allgemeiner lokalkonvexen  -Vektorraum   (  ist hier   oder  ) definiert durch die Formel   ein lineares Funktional auf dem topologischen Dualraum  . Die schwach-*-Topologie ist definiert als die schwächste Topologie auf  , die all diese Abbildungen   stetig macht.

Eine etwas konkretere Definition erhält man durch die Angabe einer Umgebungsbasis. Für   bilden die Mengen

 ,

wobei  , eine Umgebungsbasis schwach-*-offener Mengen von f. Die schwach-*-Topologie wird oft mit w* bezeichnet, nach der englischen Bezeichnung weak-*-topology, oder mit  , um die Herkunft als Initialtopologie anzudeuten.

KonvergenzBearbeiten

Eine Folge   in   (oder allgemeiner ein Netz  ) konvergiert genau dann in der schwach-*-Topologie gegen  , wenn

 

für alle   gilt. Daher nennt man die schwach-*-Topologie auch die Topologie der punktweisen Konvergenz.

HalbnormenBearbeiten

Der Dualraum   ist mit der schwach-*-Topologie ein lokalkonvexer Raum. Die schwach-*-Topologie kann daher auch durch die Angabe eines Halbnormen-Systems definiert werden. Mit   bilden die Halbnormen

 ,

ein solches System.

ProdukttopologieBearbeiten

Es gilt  , denn das kartesische Produkt auf der rechten Seite ist nichts anderes als die Menge aller Funktionen  . Da die schwach-*-Topologie, wie oben beschrieben, die Topologie der punktweisen Konvergenz ist, kann man diese auch als Relativtopologie der Produkttopologie auf   beschreiben.

Im Produktraum ist   nach dem Satz von Tychonoff für jede Wahl positiver reeller Zahlen   eine kompakte Untermenge. Diese Tatsache ist ein wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Banach-Alaoglu.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die schwach-*-Topologie   macht   zu einem lokalkonvexen Raum. Bildet man bezüglich dieser Topologie den starken Dualraum, so erhält man  , oder kurz
 .
  • Die wohl wichtigste Eigenschaft im Fall normierter Räume wird im Satz von Banach-Alaoglu behandelt, das ist die Schwach-*-Kompaktheit der Einheitskugel im Dualraum.
  • Durch die kanonische Einbettung eines Banachraums   in seinen Bidualraum   kann man   als Unterraum von   ansehen. Der Satz von Hahn-Banach zeigt, dass   bezüglich der schwach-*-Topologie   dicht liegt. Mit Hilfe des Trennungssatzes kann man zeigen, dass diese Dichtheitsbeziehung bei normierten Räumen auch für die Einheitskugeln richtig ist, das heißt, es gilt der auf Herman H. Goldstine zurückgehende
Satz von Goldstine:   liegt  -dicht in  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968.