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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

DefinitionBearbeiten

Für jedes   aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge   sei   ein topologischer Raum. Sei   das kartesische Produkt der Mengen  . Für jeden Index   bezeichne   die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf   definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen   stetig sind. Man nennt   mit dieser Topologie den Produktraum der  .

Explizite BeschreibungBearbeiten

Man kann die Topologie auf   explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume   unter den kanonischen Projektionen   bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d. h. eine Teilmenge   ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen   ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen   dargestellt werden können. Dabei liegt   in   und   sind offene Teilmengen von  . Daraus folgt, dass im Allgemeinen nicht alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn   endlich ist.

Universelle EigenschaftBearbeiten

Der Produktraum   zusammen mit den kanonischen Projektionen   wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist   ein topologischer Raum und für jedes   ist   stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion  , so dass   für alle   gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

BeispieleBearbeiten

  • Wenn   zwei metrische Räume sind, dann erhält man die Produkttopologie auf   mit der Produktmetrik
 
  • Die Produkttopologie auf dem  -fachen kartesischen Produkt   der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.
  • Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.
  • Der Ring   der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Räume   versehen und ist dann kompakt. Diese Topologie wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf  .

EigenschaftenBearbeiten

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in   konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die   konvergieren. Insbesondere ist für den Raum   aller Funktionen von   nach   die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion   stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen:   ist stetig genau dann, wenn alle   stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion   stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der   auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

SonstigesBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten