Eingeschränktes direktes Produkt

In der Mathematik ist das eingeschränkte direkte Produkt eine topologische Konstruktion aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen.

Sie definiert einen topologischen Raum, der mit Hilfe des kartesischen Produkts aus einer gegebenen Familie topologischer Räume gebildet wird. Ist die Familie endlich, ist das eingeschränkte direkte Produkt das kartesische Produkt ausgestattet mit der Produkttopologie. Bei unendlichen Produkten erhält man aber im Allgemeinen eine andere Topologie als die Produkttopologie.

Anders als die Produkttopologie liefert das eingeschränkte direkte Produkt lokalkompakter Räume stets einen lokalkompakten Raum.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Familie topologischer Räume und   sei für fast alle   eine offene kompakte Teilmenge. Das eingeschränkte direkte Produkt der   bezüglich der   ist die Menge

 

Das eingeschränkte direkte Produkt besitzt folgende Topologie:

Ein offenes Rechteck in   ist eine Teilmenge der Form

 

wobei   offen ist und für fast alle   die Gleichheit   gilt. Der Schnitt endlich vieler offener Rechtecke ist ein offenes Rechteck. Eine Teilmenge   heißt offen, falls sie sich als Vereinigung offener Rechtecke schreiben lässt, die offenen Rechtecke bilden also eine Basis der Topologie auf  .

NotationenBearbeiten

Geläufige Notationen für das eingeschränkte direkte Produkt sind

 

Für endliche TeilmengenBearbeiten

Definiere weiterhin für eine endliche Teilmenge   von  

 

Dann ist   eine offene Teilmenge von   und die Teilraumtopologie von   auf   ist gleich der Produkttopologie auf  .

Bemerkung: Es gilt

 .

EigenschaftenBearbeiten

  • Die von der Produkttopologie induzierte Topologie ist gröber. Das heißt, jede Teilmenge des eingeschränkten direkten Produkts, die bezüglich der von der Produkttopologie induzierte Topologie offen ist, ist offen.
  • Sind alle   lokalkompakt und die   kompakt, so ist auch   lokalkompakt. Das direkte Produkt hingegen ist genau dann lokalkompakt, wenn zusätzlich fast alle   kompakt sind.
  • Die restringierte Produkttopologie hängt von der Gesamtheit der   ab, aber nicht von den einzelnen  , d. h. sei   offen für alle   und es gelte   für fast alle  . Dann sind die beiden eingeschränkten direkte Produkte und ihre entsprechenden Topologien kanonisch isomorph.
  • Das eingeschränkte direkte Produkt kann folgendermaßen zerlegt werden. Sei   eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge  . Dann gilt:
 
wobei die beiden Mengen und die beiden Topologien übereinstimmen (links haben wir die Produkttopologie bei den beiden Faktoren). Der Beweis dieser Aussage ist nicht schwer: Beachte, dass auf beiden Seiten die gleiche Menge definiert wird und die gleichen offenen Mengen erzeugen die jeweilige Topologie, also sind die beiden topologischen Räume gleich.
  • Falls die   sogar lokalkompakte Gruppen sind, dann können wir darauf entsprechende Maße   fixieren. Wir können diese Maße so normieren, dass   ist. Dann definiere das Produktmaß  , indem es auf restringierten offen Rechtecken festgelegt wird. Da diese die Topologie erzeugen, genügt es   darauf zu definieren. Definiere also
 
Dies ist ein endlichen Produkt, da   ist und   endlich ist.

BeispieleBearbeiten

  • Ist   für fast alle  , so erhält man die Produkttopologie.
  • Der Ring der Adele   ist das eingeschränkte direkte Produkt der   bezüglich der   (für   nehmen wir einfach keine offene Teilmenge von  , es reicht nach Definition ja, wenn für fast alle p eine solche gegeben ist).
  • Die Gruppe der Idele   ist das eingeschränkte direkte Produkt der   bezüglich der  . Man beachte, dass die Topologie auf   nicht mit der von   induzierten Teilraumtopologie übereinstimmt.

LiteraturBearbeiten

  • Anton Deitmar: Automorphe Formen. Springer, Berlin Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-12389-4, Seite 122f.
  • John Cassels, Albrecht Froehlich: Algebraic number theory: proceedings of an instructional conference, organized by the London Mathematical Society, (a NATO Advanced Study Institute). Academic Press, London 1967, XVIII, 366 Seiten.