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Kategorientheorie

allgemeine Theorie mathematischer Strukturen

Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene „General Theory of Natural Equivalences“ (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden ursprünglich eingeführt.

Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen (klassische Strukturen sind z. B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume). Dabei werden Eigenschaften mathematischer Strukturen allerdings nicht über Relationen zwischen Elementen der Trägermenge(n) definiert, sondern mittels Morphismen und Funktoren quasi über Vergleiche sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien.

BedeutungBearbeiten

Diese Art der Abstraktion führt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen.
Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte der homologischen Algebra, deren Methoden zuerst auf abelsche Gruppen beschränkt waren, dann auf Moduln über Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, als Theorie der abelschen Kategorien, auf abelsche Garben übertragen wurden.

Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. So bilden Topoi, kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch (d. h. über Morphismen) formuliert werden, eine Alternative zum axiomatischen mengentheoretischen Aufbau der Mathematik. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in der Logik, der Theoretischen Informatik (Semantik von Programmiersprachen, Bereichstheorie, Graphgrammatiken) und der mathematischen Physik (topologische Quantenfeldtheorie) eine Rolle.

Aufgrund ihres hohen Grades an Abstraktion wird die Kategorientheorie gelegentlich – selbst von den Mathematikern, die sie entwickelten – als allgemeiner Unsinn bezeichnet.[1][2]

DefinitionenBearbeiten

KategorieBearbeiten

Eine Kategorie   besteht aus folgendem:

  • Einer Klasse   von Objekten.
  • Einer Klasse von sogenannten Pfeilen oder Morphismen. Ein Morphismus ist ein Element einer Klasse   die es zu jedem Paar   von Objekten gibt (auch mit   ,  ,   oder   bezeichnet). Diese Klassen sind paarweise disjunkt, d. h. kein Morphismus  , auch   geschrieben, ist Element einer anderen Morphismenklasse.   ist die Quelle eines Morphismus   und wird auch mit   bezeichnet (von englisch domain), das Ziel   mit   (von co-domain).
  • Verknüpfungsabbildungen
 
die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind:
  sofern   und  .
(Gelegentlich wird das   weggelassen und   als   angeschrieben.)
  • einem Identitätsmorphismus   zu jedem Objekt  , der neutrales Element für die Verknüpfung mit Morphismen mit Quelle oder Ziel   ist, d. h. es gilt  , falls   ist, und  , falls  . Anstelle   ist auch die Form   gebräuchlich.

Die Klasse aller Morphismen wird auch mit   oder   bezeichnet (von englisch arrow, französisch flèche, deutsch Pfeil).

UnterkategorieBearbeiten

Eine Unterkategorie einer Kategorie   ist eine Kategorie  , so dass   eine Teilklasse von   ist und für je zwei Objekte   und   in   die Morphismenmenge   Teilmenge von   ist. Sind die Morphismenmengen von   gleich denen von  , ist   eine volle Unterkategorie. Eine volle Unterkategorie ist schon durch die Angabe der Objekte bestimmt.

Duale KategorieBearbeiten

Die duale Kategorie   zu einer Kategorie   ist die Kategorie mit   und

 .

Die Verknüpfungsabbildungen und Identitätsmorphismen sind dieselben wie in  . Anschaulich gesagt, zeigen in   alle Pfeile in die andere Richtung. Die Kategorie   ist gleich  .

ProduktkategorieBearbeiten

Die Produktkategorie   zu zwei Kategorien   und   ist die Kategorie, deren Objekte genau die Paare   mit   und   sind und deren Morphismen gegeben sind durch

 .

Die Verknüpfung von Morphismen geschieht komponentenweise, d. h.  , und es ist  .

FunktorBearbeiten

Ein (kovarianter) Funktor ist eine strukturverträgliche Abbildung zwischen Kategorien. Ein Funktor   von einer Kategorie   in eine Kategorie   besteht aus den folgenden Daten:

  • eine Zuordnung  
  • Abbildungen   für je zwei Objekte  ,   von  .

Die Abbildungen zwischen den Morphismenmengen müssen folgende Eigenschaften haben:

  • Sie sind kompatibel mit Verknüpfungen, d. h.  .
  • Sie erhalten Identitätsmorphismen:  .

Ein kontravarianter Funktor (oder Kofunktor) von   nach   ist ein Funktor  . Äquivalent dazu ist die Beschreibung wie oben, mit den folgenden Unterschieden:

  • Die Abbildungen auf den Morphismenmengen gehen von   nach  .
  • Die Kompatibilität mit den Verknüpfungen lautet  .

Ein Funktor   von einer Kategorie in sie selbst heißt Endofunktor.

Sind   Kategorien und   sowie   ko- oder kontravariante Funktoren, so ist die Verkettung  , die formal durch

 

für Objekte   und Morphismen   definiert ist, ein Funktor  .   ist genau dann kovariant, wenn   und   beide ko- oder beide kontravariant sind, andernfalls kontravariant.

Natürliche TransformationBearbeiten

Natürliche Transformationen sind eine Art Abbildung zwischen „parallelen“ Funktoren. Es wird von Funktoren   und   ausgegangen, die beide von derselben Kategorie   in dieselbe Kategorie   gehen. Eine natürliche Transformation   von   nach   enthält für jedes Objekt   von   einen Morphismus  , genannt Komponente von   bei  . Dabei muss für jeden Morphismus   zwischen Objekten von   das folgende Diagramm kommutieren:

 

Als Formel bedeutet das:  .

Natürlich äquivalent sind zwei Funktoren   und   von   nach  , wenn es natürliche Transformationen   und   gibt, so dass   und   jeweils die Identität sind. Anders formuliert: natürliche Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff in der Funktorkategorie. Eine natürliche Transformation   ist eine natürliche Äquivalenz genau dann, wenn jede Komponente   ein Isomorphismus ist.

Äquivalenz von Kategorien: Ein Funktor   heißt eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor   gibt, so dass   und   jeweils natürlich äquivalent zur Identität von   bzw.   sind. Man kann zeigen, dass Äquivalenzen von Kategorien genau die volltreuen, wesentlich surjektiven Funktoren sind.

BeispieleBearbeiten

KategorienBearbeiten

Hinweis: Die Bezeichnungen für spezielle Kategorien sind in der Literatur extrem uneinheitlich. Oft wird eine Beschreibung der Kategorie in runde oder geschweifte Klammern gesetzt, z. B. (Gruppen), oder unterstrichen.

  • Die Kategorie Set, Ens bzw. Me[3] (von engl. set, franz. ensemble, deutsch Menge) ist die Kategorie der Mengen. Die Kategorie besteht aus der Klasse  , die alle Mengen enthält, und die Morphismenmenge enthält genau die Abbildungen von   nach  , d. h.   Die Verknüpfung zweier Morphismen ist die Verkettung der Abbildungen.
  • PoSet oder Pos wird die Kategorie der halbgeordneten Mengen (Objekte) und monotonen Abbildungen (Morphismen) genannt.
  • die Kategorie NLinSp der normierten linearen Räume mit den stetigen (=beschränkten) linearen Abbildungen. Unterkategorien sind z. B. die Banachräume mit stetigen linearen Abbildungen (BanSp1), die Banachräume mit stetigen normreduzierenden Abbildungen (BanSp2), oder kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen (CBanAlg).
  • Die Kategorie der kleinen Kategorien Cat oder Kat: Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Die Objekte von Cat sind die kleinen Kategorien und die Morphismen sind die Funktoren. (Die Beschränkung auf kleine Kategorien ist aus mengentheoretischen Gründen nötig.)
  • Eine Menge mit einer Halbordnung   bestimmt eine Kategorie: Objekte sind die Elemente der Menge, und   habe genau ein Element (z. B. das geordnete Paar  ), falls  , und sei andernfalls leer.
  • Ist hierbei   leer, ergibt sich eine Kategorie ganz ohne Objekte und Morphismen. Sie wird mit   bezeichnet und heißt die initiale oder leere Kategorie. Die Benennung rührt daher, dass   initiales Objekt in Cat ist.
  • Ist dagegen   einelementig, ergibt sich eine Kategorie  , die aus genau einem Objekt und dessen Identitätsmorphismus besteht. Sie wird finale oder terminale Kategorie genannt, was dadurch motiviert ist, dass   finales Objekt in Cat ist.
  • Sind   und   Kategorien, so kann man die Funktorkategorie   bilden: Objekte sind Funktoren von   nach  , Morphismen sind natürliche Transformationen.
  • Ist   eine Kategorie und   ein Objekt von  , so ist die Kategorie   der Objekte über   wie folgt definiert: Objekte von   sind Morphismen in   mit Ziel  , und Morphismen von   sind Morphismen von  , die mit den „Strukturmorphismen“ nach   verträglich sind, d. h. sind   und   zwei Objekte von  , so sind Morphismen von   nach   in   die Morphismen   von   nach  , für die   gilt.
  • Umgekehrt sei * ein fester einpunktiger topologischer Raum. Dann ist die Kategorie der topologischen Räume unter * isomorph zur Kategorie Top* der punktierten topologischen Räume.

Die meisten der oben genannten Beispiele sind so geartet (oder lassen sich leicht dahingehend anpassen), dass die Objekte Mengen zusammen mit einer Zusatzstruktur sind, die Morphismen Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind, und die Verknüpfung von Morphismen die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einer konkreten Kategorie. Es ist jedoch nicht jede Kategorie konkret oder auch nur äquivalent zu einer konkreten Kategorie (d. h. konkretisierbar). Nicht konkretisierbar sind beispielsweise (ohne Beweis):

  • Die Kategorie der kleinen Kategorien, allerdings mit den natürlichen Äquivalenzklassen von Funktoren als Morphismen.

FunktorenBearbeiten

Meist gibt man für Funktoren nur die Zuordnung der Objekte an, wenn die Abbildungen auf den Morphismenmengen daraus leicht zu ersehen sind.

  • Für ein Objekt   einer Kategorie   ist die Zuordnung
 
ein (kovarianter) Funktor  . Der Funktor
 
ist kontravariant. Hierzu siehe auch Hom-Funktor.
  • Es sei   ein Körper und   die Kategorie der Vektorräume über   mit den  -linearen Abbildungen als Morphismen. Es sei nun ein kontravarianter Funktor
 
wie folgt definiert:
  • Für ein Objekt   ist   der Dualraum von  
  • Für eine lineare Abbildung   ist
 
Man überprüft leicht, dass   und   gilt.
  •  : ordnet einem unitären Ring seine Gruppe der Einheiten zu. Allgemeiner:  : ordnet einem Ring die Gruppe der invertierbaren  -Matrizen zu.
  • Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor  , von der Kategorie der punktierten topologischen Räume (die Punktierung gibt den Basispunkt an) in die Kategorie der Gruppen; die höheren Homotopiegruppen sind Funktoren  ; die Homologiegruppen sind Funktoren  ; die Kohomologiegruppen sind kontravariante Funktoren  .
  • Vergissfunktoren: Es gibt offensichtliche Funktoren  ,  ,   usw., die einfach einen Teil der Struktur „vergessen“, d. h. einer abelschen Gruppe die zugrundeliegende Menge, einer abelschen Gruppe sich selbst (aber ohne die Information, dass sie abelsch ist), einem topologischen Raum die zugrundeliegende Menge usw. zuordnen.
  • Freie“ Konstruktionen, hier freie abelsche Gruppe: Jeder Menge   kann man die abelsche Gruppe   (mit punktweiser Addition) zuordnen. Zusammen mit offensichtlichen Zuordnungen für Abbildungen, nämlich  , ergibt sich ein Funktor von   nach  . Es gibt dann eine kanonische Isomorphie  , wobei   der Vergissfunktor ist. Man sagt,   ist (links-)adjungierter Funktor zu  . Ähnliche Konstrukte existieren für viele Vergissfunktoren.
  • Funktoren zwischen Kategorien, die von halbgeordneten Mengen bestimmt werden (s.  o.), sind gerade monotone Abbildungen.

Natürliche TransformationenBearbeiten

  • Die Bezeichnungen seien wie im Beispiel des Funktors „Dualraum“ oben. Die Abbildungen
 
eines Vektorraumes in seinen Bidualraum bilden eine natürliche Transformation
 
Auf der vollen Unterkategorie der endlichdimensionalen Vektorräume ist   eine natürliche Äquivalenz.
  •  : Für einen Ring   ist   der Gruppenhomomorphismus  , die Determinante.
  • Die Hurewicz-Abbildung
 
 

Yoneda-Lemma und universelle KonstruktionenBearbeiten

Universelle Konstruktionen übertragen einfache Begriffe aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien.

Das Yoneda-LemmaBearbeiten

Es sei   eine Kategorie. Der Funktor

 

der einem Objekt   den Funktor

 

zuordnet, ist volltreu. Allgemeiner gilt für Objekte   von   und   von  :

 ;

einer natürlichen Transformation   wird dabei   zugeordnet (man beachte  ).

StrukturtransferBearbeiten

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen. Beispielsweise kann man ein Produkt von Objekten   definieren als ein Objekt  , für das   objektweise das kartesische Produkt der   ist, d. h. dass

 

gilt; dabei meint   eine natürliche Äquivalenz von Funktoren in  . Diese Äquivalenz liefert für   als Entsprechung von   auch Morphismen  . Das Yoneda-Lemma zeigt dann, dass   bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt ist: sind   und   via   natürlich äquivalente Funktoren, so sind   und   via   isomorph.

„Universell“ ist dieses kategorielle Produkt in dem folgenden Sinn: wann immer man Abbildungen   gegeben hat, kommen diese von den universellen Abbildungen   her, d. h. es gibt eine Abbildung  , so dass   gilt.

Außerdem kann man zu jeder derart gewonnenen Konstruktion die duale Konstruktion bilden (meist durch eine Vorsilbe „Ko“ gekennzeichnet), indem man zur dualen Kategorie übergeht. Beispielsweise ist das Koprodukt von Objekten   in einer Kategorie   dasselbe wie das Produkt derselben Objekte   in der dualen Kategorie  .

Entsprechend können auch Eigenschaften von Mengenabbildungen auf beliebige Kategorien übertragen werden: beispielsweise ist ein Morphismus   ein Monomorphismus, wenn   objektweise injektiv ist.

Spezielle universelle Konstruktionen bzw. BegriffeBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Einführungen:

Klassische Lehrbücher:

  • J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
  • Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory: An Introduction. Boston 1973.
  • Saunders MacLane: Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie. Berlin 1972, ISBN 3-540-05634-3.
  • Saunders MacLane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 0-387-98403-8.
  • Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. B. G. Teubner, Stuttgart 1969.
  • Horst Schubert: Kategorien I/II. Springer, 1970.

Ein Nachschlagewerk:

  • Francis Borceux: Handbook of categorical algebra. 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). – Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, ISBN 0-521-44179-X, ISBN 0-521-44180-3.

Ein Sammelband:

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Serge Lang: Algebra. Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 759.
  2. Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer, 2004, ISBN 3-0348-8962-3, S. 212.
  3. Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 3-663-12190-9, S. 8, doi:10.1007/978-3-663-12190-9.

WeblinksBearbeiten