Freies Objekt

Freie Objekte werden in der abstrakten Algebra untersucht. Es handelt sich um algebraische Strukturen, in denen nur diejenigen Gleichungen gelten, die aus den definierenden Axiomen der algebraischen Struktur folgen, die also frei von weiteren Relationen sind. In der Kategorientheorie definiert man freie Objekte durch eine universelle Eigenschaft.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine konkrete Kategorie mit dem Vergissfunktor  . Gegeben seien ferner eine Menge  , ein Objekt   aus   und eine injektive Abbildung  . Das Paar   heißt frei über  , wenn folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jedes Objekt   aus   und jede Abbildung   gibt es genau einen Morphismus   mit  , das heißt, dass das folgende Diagramm kommutativ ist:[1][2]

 

Oft ist   und   die Inklusionsabbildung. Dann lässt man   weg und nennt, etwas ungenau,   das freie Objekt über  .

EindeutigkeitBearbeiten

Sind   frei über   und   frei über   und sind   und   gleichmächtig, so sind   und   isomorph.[3][4] Wenn es also freie Objekte gibt, so sind diese bis auf Isomorphie eindeutig und hängen nur von der Mächtigkeit der Menge ab.

BeispieleBearbeiten

Der wohl bekannteste Fall ist die Kategorie der Vektorräume über einem festen Körper   mit den K-linearen Abbildungen als Morphismen. Der Vergissfunktor bildet einen Vektorraum auf die Menge der Elemente des Vektorraums ab, vergisst also die Vektorraumstruktur. Ist   eine Menge, so gibt es einen über   freien Vektorraum. Dazu betrachte den Vektorraum   aller Abbildungen   mit endlichem Träger. Ist   die Abbildung, die   auf 1 und jedes andere Element aus   auf 0 abbildet, so ist   eine injektive Abbildung und   ist frei über   im Sinne obiger Definition.   ist eine Basis von  . Der Eindeutigkeitssatz ist hier nichts weiter als der bekannte Satz, dass Vektorräume mit gleichmächtigen Basen isomorph sind. Hier gibt es noch die Besonderheit, dass jeder Vektorraum frei ist, denn jeder Vektorraum hat eine Basis und ist frei über jeder Basis.

Weitere Beispiele sind

Freiheit als FunktorBearbeiten

Die Konstruktion des freien Objekts über einer Menge   ordnet jeder Menge ein Objekt der gegebenen Kategorie zu, falls freie Objekte in der Kategorie   existieren, etwa   mit Abbildungen  . Ist   eine Abbildung in der Kategorie  , so gibt es zu   definitionsgemäß genau einen Morphismus  , so dass  , das heißt, dass das Diagramm

 

kommutativ ist. Setzt man  , so erhält man einen Funktor  , der linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. Man kann Freiheit umgekehrt als linksadjungierten Funktor zum Vergissfunktor definieren.[5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Diskrete und algebraische Strukturen - kurz gefasst, Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-662-45176-2, Kapitel 11.4: Freiheit
  2. Thomas W. Hungerford: Algebra, Springer-Verlag (1974), ISBN 978-1-4612-6103-2, Kapitel I §7, Definition 7.7
  3. Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Diskrete und algebraische Strukturen - kurz gefasst, Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-662-45176-2, Satz 11.13
  4. Thomas W. Hungerford: Algebra, Springer-Verlag (1974), ISBN 978-1-4612-6103-2, Kapitel I §7, Satz 7.8
  5. P.J. Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra, Springer-Verlag (1971), ISBN 978-0-387-90033-9, Kapitel II.10: Projective, Injective and Free Objects