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Träger (Mathematik)

abgeschlossene Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte in der Mathematik

In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der Nichtnullstellenmenge einer Funktion oder anderer Objekte.

AnalysisBearbeiten

Träger einer FunktionBearbeiten

Der Träger von   wird meist mit  [1] oder   bezeichnet.

Sei   ein topologischer Raum und   eine Funktion. Der Träger von   besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von  , formal:

 

Träger einer DistributionBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge des   und   eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt   zum Träger von   gehört, und schreibt  , wenn für jede offene Umgebung   von   eine Funktion   existiert mit  .

Falls   eine reguläre Distribution   mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

BeispieleBearbeiten

Ist   mit  , dann ist  , denn die Nichtnullstellenmenge von   ist  , deren Abschluss ganz   ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist   mit  , falls  , sonst  , dann ist   die Menge  .

Ist   die charakteristische Funktion von  , falls  , und  , falls  , dann ist der Träger  , also der Abschluss von  .

Sei   eine offene Teilmenge des  . Die Menge aller stetigen Funktionen von   nach   mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit   bezeichnet wird.

Die Menge   aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in   spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution   hat den Träger  , denn mit   gilt: Ist   aus  , dann ist  .

GarbentheorieBearbeiten

Es sei   eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum  .

Träger eines SchnittesBearbeiten

Für eine offene Teilmenge   und einen Schnitt   heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte  , für die das Bild von   im Halm   ungleich null ist, der Träger von  , meist mit   oder   bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit   definierten Vektorfeldes   den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger eines Schnittes ist nach Definition stets abgeschlossen.

Träger einer GarbeBearbeiten

Der Träger von   selbst ist die Menge der Punkte  , für die der Halm   ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

LiteraturBearbeiten

  • Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bei der Schreibweise   gibt es möglicherweise Verwechslungsgefahr mit der Spur einer quadratischen Matrix, die auf Englisch trace heißt.