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Isomorphismus

bijektiver Homomorphismus

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgriechisch ἴσος (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

DefinitionBearbeiten

Universelle AlgebraBearbeiten

In der universellen Algebra heißt eine Funktion   zwischen zwei algebraischen Strukturen (zum Beispiel Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen) ein Isomorphismus, wenn:

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise „das gleiche“, nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.

Die Aussage „  und   sind isomorph“ wird üblicherweise durch   oder durch   notiert.

Ist   ein bijektiver Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann ist immer auch   ein bijektiver Homomorphismus.

Relationale StrukturenBearbeiten

Es seien   und   zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ   sodass   für jedes   die Stelligkeit der Relationen   und   bezeichnet. Eine Bijektion   heißt Isomorphismus, wenn sie für jedes   und für alle   die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:

 

Im Gegensatz zu algebraischen Strukturen ist nicht jeder bijektive Homomorphismus zwischen relationalen Strukturen ein Isomorphismus. Ein Beispiel für Isomorphismen zwischen relationalen Strukturen sind Isomorphismen zwischen Graphen.

KategorientheorieBearbeiten

In der Kategorientheorie definiert man einen Isomorphismus allgemein als einen Morphismus   der ein beidseitiges Inverses   besitzt:

  und  

Die oben definierten Isomorphismen zwischen algebraischen Strukturen sowie zwischen relationalen Strukturen sind Spezialfälle dieser Definition. Weitere Spezialfälle dieses Isomorphiebegriffes sind beispielsweise Homöomorphismen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetige Abbildungen oder Homotopieäquivalenzen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume mit den Homotopieklassen von Abbildungen als Morphismen.

BedeutungBearbeiten

In der Kategorientheorie ist von entscheidender Bedeutung, dass Funktoren Isomorphismen erhalten, d. h. ist   ein Isomorphismus in einer Kategorie   und   ein Funktor, dann ist

 

ebenfalls ein Isomorphismus, in der Kategorie  . In der algebraischen Topologie wird diese Eigenschaft häufig ausgenutzt, um Räume unterscheiden zu können: Sind beispielsweise die Fundamentalgruppen zweier Räume nicht isomorph, so sind die Räume nicht homöomorph.

BeispieleBearbeiten

Sind   und   Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist eine Bijektion   mit

  für alle  

ein Isomorphismus von   nach  . So ist etwa der Logarithmus ein Isomorphismus von   nach  , da  .

Eine binäre Verknüpfung ist eine dreistellige Relation. Aber auch zu zweistelligen Relationen lassen sich Homo- und Isomorphismen definieren (s. u. #Ordnungsisomorphismus).

Bei manchen Isomorphismen impliziert die Homomorphie der Funktion auch die der Umkehrfunktion; bei den anderen muss man sie extra nachweisen.

GruppenisomorphismusBearbeiten

Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.

Isometrischer IsomorphismusBearbeiten

Sind   und   metrische Räume und ist   eine Bijektion von   nach   mit der Eigenschaft

  für alle  ,

dann nennt man   einen isometrischen Isomorphismus.

In den bisherigen Beispielen sind Isomorphismen genau die homomorphen Bijektionen – die Umkehrabbildung ist automatisch homomorph. In den folgenden Beispielen muss zusätzlich gefordert werden, dass auch die Umkehrabbildung homomorph ist.

In der Funktionalanalysis nennt man eine Abbildung   zwischen normierten Räumen   einen Isomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

Falls zusätzlich für alle   gilt  , so nennt man   einen isometrischen Isomorphismus.

OrdnungsisomorphismusBearbeiten

Sind   und   geordnete Mengen, dann ist ein (Ordnungs-)Isomorphismus von   nach   eine ordnungserhaltende Bijektion, deren Umkehrfunktion ebenfalls ordnungserhaltend ist. Ordnungserhaltende Bijektionen zwischen totalgeordneten Mengen sind automatisch Isomorphismen; für Halbordnungen gilt dies nicht:   ist offenkundig eine ordnungserhaltende Bijektion von   mit der Teilerrelation nach   mit der gewöhnlichen Ordnung, aber nicht in der Gegenrichtung. Ordnungsisomorphismen spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle. Man sagt auch,   und   seien ordnungsisomorph oder vom selben Ordnungstyp. Der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen   wird mit   und der der rationalen Zahlen   mit   bezeichnet. Der Ordnungstyp der rationalen Zahlen im offenen Intervall   ist ebenfalls   Beide sind dicht in ihrer jeweiligen Vervollständigung. Die Ordnungstypen der reellen Zahlen   und des Intervalls   sind ebenfalls gleich, aber verschieden von   da es keine Bijektion zwischen   und   gibt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Isomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen