Gruppenisomorphismus

Ein Gruppenisomorphismus ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird. Analog zu anderen Definitionen von Isomorphismen wird der Gruppenisomorphismus als ein bijektiver Gruppenhomomorphismus definiert. Ein Gruppenisomorphismus, der eine Gruppe auf sich selbst abbildet, ist ein Gruppenautomorphismus.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.

DefinitionBearbeiten

Seien   und   zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus   heißt Gruppenisomorphismus, falls   eine inverse Abbildung besitzt, das heißt, falls es einen Gruppenhomomorphismus   mit   und   gibt. Äquivalent hierzu ist die Forderung, dass der Gruppenhomomorphismus   bijektiv ist.[1]

Bildet der Gruppenisomorphismus von   nach   ab, sind also Definitionsbereich und Bildmenge gleich, so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphismus.[2]

EigenschaftenBearbeiten

 
  • Sein Bild ist die ganze Gruppe, d. h.:
 
  • Zu jedem Gruppenisomorphismus   existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion  .

Isomorphie von GruppenBearbeiten

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

BeispieleBearbeiten

  • Für jede Gruppe G ist die identische Abbildung  , ein Gruppenautomorphismus.
  • Die Exponentialfunktion   , ist ein Gruppenisomorphismus.
  • Die Konjugation beschreibt einen Gruppenautomorphismus.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 13.
  2. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 14.