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Homöomorphismus

umkehrbare Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen
Beispiel: Visualisierung eines Homöomorphismus zwischen Cantor-Räumen. Homöomorphismus vom in den . Die Farben deuten an, wie Teilräume von Folgen mit einem gemeinsamen Präfix aufeinander abgebildet werden.

Ein Homöomorphismus (zuweilen auch Homeomorphismus in Anlehnung an den englischen Begriff homeomorphism, keinesfalls aber zu verwechseln mit Homomorphismus) ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie. Er bezeichnet eine bijektive, stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. Die Stetigkeitseigenschaft hängt von den betrachteten topologischen Räumen ab.

Zwei topologische Räume heißen homöomorph (auch topologisch äquivalent), wenn sie durch einen Homöomorphismus (auch topologische Abbildung oder topologischer Isomorphismus) ineinander überführt werden können; sie liegen in derselben Homöomorphieklasse und sind, unter topologischen Gesichtspunkten, gleichartig. Die Topologie untersucht Eigenschaften, die unter Homöomorphismen invariant sind.

Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands vorstellen; Zerschneiden ist nur erlaubt, wenn man die Teile später genau an der Schnittfläche wieder zusammenfügt.

DefinitionBearbeiten

  und   seien topologische Räume. Eine Abbildung   ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn gilt:

  •   ist bijektiv
  •   ist stetig
  • die Umkehrfunktion   ist ebenfalls stetig.

Homöomorphismen lassen sich wie folgt charakterisieren: Sind   und   topologische Räume, so sind für eine bijektive, stetige Abbildung   äquivalent:

  •   ist ein Homöomorphismus.
  •   ist eine offene Abbildung.
  •   ist eine abgeschlossene Abbildung.

BeispieleBearbeiten

  • Jede offene Kreisscheibe (mit positivem Radius) ist homöomorph zu jedem offenen Quadrat (mit positiver Seitenlänge) in der euklidischen Ebene  . Eine Kreisscheibe lässt sich also anschaulich gesehen durch Verbiegen und Verzerren, ohne Zerschneiden, in ein Quadrat überführen, und umgekehrt.
  • Das offene Intervall   ist homöomorph zum Raum   aller reellen Zahlen. Jedes offene Intervall lässt sich ohne Weiteres ins Unendliche verzerren. Ein Homöomorphismus, der dies für   vermittelt, ist zum Beispiel
 
  • Der Produktraum   des Einheitskreises mit sich selbst ist homöomorph zum zweidimensionalen Torus, also zu der Form eines Fahrradschlauchs. Für einen Homöomorphismus, der dies vermittelt, wird zunächst einem Punkt auf dem ersten Kreis eine Stelle auf der Felge des Fahrradreifens zugeordnet, dann einem Punkt auf dem zweiten Kreis eine Stelle auf dem an der Felgenstelle anliegenden Reifenquerschnitt.

Bedeutung der UmkehrbarkeitBearbeiten

Die dritte Bedingung der Stetigkeit der Umkehrfunktion   ist unerlässlich. Man betrachte zum Beispiel die Funktion

 

Diese Funktion ist stetig und bijektiv, aber kein Homöomorphismus. Die Umkehrfunktion   bildet Punkte nahe bei   auf weit voneinander entfernte Zahlen in der Nähe von   und   ab; anschaulich würde der Kreis an der Stelle   zerrissen und dann flach abgerollt zum Intervall.

Beschränkt man sich auf bestimmte Arten topologischer Räume, dann folgt die Stetigkeit der Umkehrabbildung einer Bijektion   bereits aus der Stetigkeit von  . Zum Beispiel ist eine stetige Bijektion zwischen kompakten Hausdorff-Räumen bereits ein Homöomorphismus. Zum Beweis dieser Aussage dient der folgende

Satz
Wenn   ein kompakter und   ein hausdorffscher topologischer Raum ist, dann ist jede stetige bijektive Abbildung   ein Homöomorphismus.
Beweis
Sei   die Umkehrabbildung und   abgeschlossen, es ist zu zeigen, dass   abgeschlossen ist. Als abgeschlossene Teilmenge eines Kompaktums ist   kompakt. Da stetige Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind, ist   kompakt. Da kompakte Mengen in Hausdorffräumen abgeschlossen sind, ist   abgeschlossen, was den Beweis beendet.

EigenschaftenBearbeiten

Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind, dann haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften, das sind Eigenschaften, die sich ausschließlich durch die unterliegende Menge und den darauf definierten offenen bzw. abgeschlossenen Mengen ausdrücken lassen. Das liegt daran, dass ein Homöomorphismus definitionsgemäß eine Bijektion zwischen den unterliegenden Mengen und zwischen den Systemen offener Mengen ist. Beispiele solcher Eigenschaften sind Kompaktheit, Zusammenhang, Trennungseigenschaften und viele mehr. Der Nachweis, dass es sich um eine topologische Eigenschaft handelt, kann mitunter schwierig sein, insbesondere dann, wenn die ursprüngliche Definition zusätzliche Strukturen verwendet. Ein Beispiel einer solchen Eigenschaft ist Metrisierbarkeit, hier zeigt der Satz von Bing-Nagata-Smirnow, dass es sich um eine topologische Eigenschaft handelt. Eberlein-Kompaktheit ist ein weiteres nicht-triviales Beispiel.

Es gibt aber auch Eigenschaften gewisser Räume, die bei Homöomorphismen nicht erhalten bleiben, zum Beispiel die Vollständigkeit metrischer Räume. Die Ebene und die offene Kreisscheibe mit der Standardmetrik sind homöomorph bzgl. der durch die Metrik definierten Topologien, erstere ist vollständig, letztere hingegen nicht. Vollständigkeit ist daher keine topologische Eigenschaft, sie bleibt bei Homöomorphismen nicht erhalten.

Lokaler Homöomorphismus Bearbeiten

Eine stetige Abbildung   zwischen topologischen Räumen   heißt lokaler Homöomorphismus, falls für jeden Punkt   eine offene Umgebung   von   existiert, so dass

  •   eine offene Umgebung von   bildet und
  •   ein Homöomorphismus ist.

Jeder Homöomorphismus ist ebenfalls ein lokaler Homöomorphismus, die Umkehrung gilt aber nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: Die Abbildung   ist nicht bijektiv, aber ein lokaler Homöomorphismus, da die Ableitung von   nirgends verschwindet.

Siehe auchBearbeiten