Offene Abbildung

Offene Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik, speziell der Topologie.

Stetige Funktionen können dadurch charakterisiert werden, dass Urbilder offener Teilmengen der Zielmenge wieder offen sind. Die entsprechend formulierte Bedingung für Bilder statt Urbilder führt zum Begriff der offenen Abbildung.

DefinitionBearbeiten

Eine Abbildung (oder Funktion)   von einem topologischen Raum   in einen topologischen Raum   heißt offen, wenn das Bild   einer jeden offenen Teilmenge   von   eine offene Teilmenge von   ist.

Erläuterungen und BeispieleBearbeiten

  • Eine Abbildung   ist genau dann offen, wenn für jeden Punkt   und jede Umgebung   von   in   die Bildmenge   eine Umgebung von   in   ist.
  • Sind  ,   und   topologische Räume und sind die Abbildungen   und   beide offen, so ist auch die Komposition   eine offene Abbildung.
  • Offene Abbildungen sind in der Regel nicht stetig. Zum Beispiel ist die durch   und   definierte Abbildung nach dem großen Satz von Picard eine offene Abbildung, aber nicht stetig in  .
  • Ein Beispiel einer stetigen und nicht offenen Abbildung ist die mit einer irrationalen Zahl   durch   definierte Abbildung  . Das Bild dieser Abbildung ist keine offene Teilmenge, sondern liegt dicht in  .
  • Wenn   ein diskreter topologischer Raum ist, dann ist jede Abbildung nach   eine offene Abbildung, aber nur die lokal konstanten Abbildungen sind stetig.
  • Stetige Abbildungen sind in der Regel nicht offen. So ist eine konstante Abbildung in der Regel nicht offen. Dasselbe Beispiel zeigt, dass abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein müssen.
  • Auch die durch   definierte Abbildung   ist stetig, aber nicht offen, denn   ist nicht offen in  .
  • Eine offene Abbildung ist in der Regel nicht abgeschlossen. Die Abbildung   ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge   ist die nicht-abgeschlossene Menge  .[1]
  • Homöomorphismen sind stets offene Abbildungen. Eine stetige Bijektion ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn sie eine offene Abbildung ist.
  • Sind   und   topologische Räume und ist   eine Bijektion, so ist   genau dann ein Homöomorphismus, wenn sowohl   als auch die Umkehrabbildung   offene Abbildungen sind.
  • In einem topologischen Produktraum   sind die kanonischen Projektionen   stets offen.
  • Projektionen von Faserbündeln sind stets offene Abbildungen.
  • Ein stetiger, linearer Operator zwischen zwei Banachräumen ist genau dann offen, wenn er surjektiv ist. (Satz über die offene Abbildung)
  • Der Offenheitssatz der Funktionentheorie besagt, dass holomorphe Funktionen, die auf keiner Zusammenhangskomponente ihres offenen Definitionsbereichs konstant sind, offene Abbildungen sind.
  • Nach dem Satz von der Invarianz offener Mengen ist im euklidischen Raum   für jede offene Teilmenge   und jede injektive stetige Abbildung   die Bildmenge   stets offen, also   eine offene Abbildung.
  • Der Satz von der offenen Abbildung aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen besagt, dass jeder stetige, surjektive Gruppenhomomorphismus von einer σ-kompakten, lokalkompakten Gruppe auf eine lokalkompakte Gruppe automatisch offen ist.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, hinter Definition IV.3.1.