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Ein Faserbündel ist in der Mathematik, speziell in der Topologie, ein Raum, der lokal wie ein Produkt aussieht: Faserbündel kann man als stetige surjektive Abbildungen mit einer lokalen Trivialitätsbedingung auffassen: Für jeden Punkt von gibt es eine Umgebung , für die die Einschränkung Projektion eines Produkts mit einer Faser ist.

und heißen Totalraum, Basis und Faser des Bündels. Es gibt verschiedene den Begriff des Faserbündels verallgemeinernde Begriffe von Faserungen, insbesondere Serre- und Hurewicz-Faserungen.

Spezielle Faserbündel sind z. B. Vektorbündel, welche eine fundamentale Rolle bei der mathematischen Formulierung der physikalischen Eichtheorie spielen.

DefinitionBearbeiten

Ein Faserbündel wird durch die Daten   spezifiziert, wobei  ,   und   topologische Räume sind und die Projektion   eine stetige surjektive Abbildung ist, welche lokal trivialisierbar ist, d. h. es existiert für jeden Punkt   in   eine offene Umgebung  , so dass   homöomorph zum Raum  , versehen mit der Produkttopologie, ist, und das folgende Diagramm kommutiert:

 

wobei   die natürliche Projektion auf den ersten Faktor und   ein Homöomorphismus ist. Die Menge aller solchen   nennt man lokale Trivialisierung des Bündels, die   überdecken definitionsgemäß die Basis.

Für jedes   aus   ist das Urbild   homöomorph zu   und heißt Faser über  . Ein Faserbündel   wird oft durch die kurze exakte Sequenz   dargestellt. Man beachte, dass jedes Faserbündel   eine offene Abbildung ist, da Projektionen von Produkten offene Abbildungen sind. Daher trägt   die durch die Abbildung   induzierte Quotiententopologie.

Ein Faserbündel ist ein Spezialfall einer Serre-Faserung, das heißt, es besitzt die sogenannte Homotopie-Hochhebungseigenschaft für Abbildungen von CW-Komplexen.

BeispieleBearbeiten

 
Das Möbiusband ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser [0,1].
 
Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser S1.

Sei   und   die Projektion auf den ersten Faktor. Dann ist   ein Faserbündel über   mit Faser  . In diesem Fall ist   nicht nur lokal ein Produktraum, sondern sogar global. Solch ein Faserbündel bezeichnet man als triviales Bündel.

Ein einfaches Beispiel eines nichttrivialen Bündels ist das Möbiusband. Die Basis   ist hier   (die Kreislinie), die Faser   ein abgeschlossenes Intervall. Das entsprechende triviale Bündel wäre ein Zylinder, von dem sich das Möbiusband durch ein Verdrehen der Faser unterscheidet. Diese Verdrehung ist nur global sichtbar, lokal sind Zylinder und Möbiusband identisch.

Ein ähnliches nichttriviales Bündel ist die Kleinsche Flasche, welche eine  -Faserung über   darstellt. Das entsprechende triviale Bündel wäre ein Torus. Jedes Faserbündel über   ist ein Abbildungstorus.

Jede Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes ist ein Faserbündel mit einer diskreten Faser.

Eine spezielle Klasse von Faserbündeln, die Vektorbündel, sind dadurch ausgezeichnet, dass ihre Fasern Vektorräume und die Trivialisierungen faserweise linear sind. Wichtige Beispiele sind hier die Tangential- und Kotangentialbündel einer Mannigfaltigkeit.

Eine weitere spezielle Klasse von Faserbündeln sind die Prinzipalbündel oder Hauptfaserbündel.

SchnitteBearbeiten

Hauptartikel: Schnitt (Faserbündel)

Unter einem globalen Schnitt versteht man eine stetige Abbildung  , so dass   für alle   aus  . Die Theorie der charakteristischen Klassen in der Algebraischen Topologie beschäftigt sich mit der Existenz von globalen Schnitten.

Oft kann man Schnitte nur lokal definieren. Ein lokaler Schnitt ist eine stetige Abbildung  , wobei   eine offene Menge in   ist und   für alle   aus  . Für eine lokale Trivialisierung   ist dies immer möglich. Diese Schnitte sind äquivalent mit stetigen Abbildungen  , welche eine Garbe bilden.

StrukturgruppenBearbeiten

Faserbündel werden bis auf topologische Äquivalenz durch „Atlanten“ charakterisiert, die angeben, wie ihre lokalen Trivialisierungen „zusammengeklebt“ sind: Sei   eine topologische Gruppe, die mittels einer effektiven Wirkung auf der Faser   von links wirkt. Ein  -Atlas des Bündels   besteht aus lokalen Trivialisierungen, so dass für je zwei überlappende Karten   und   der Endomorphismus

 

durch

 

gegeben ist, wobei   eine stetige Abbildung ist. Zwei  -Atlanten sind äquivalent, falls ihre Vereinigung ebenfalls ein  -Atlas ist. Ein  -Bündel ist ein Faserbündel zusammen mit einer Äquivalenzklasse von  -Atlanten. Die Gruppe   bezeichnet man als die Strukturgruppe des Bündels. Jedes Faserbündel kann durch einen  -Atlas beschrieben werden, wenn wir die Automorphismengruppe der Faser als Strukturgruppe wählen; wählen wir   kleiner, so gewinnt das Faserbündel zusätzliche Struktur.

Weil die Kartenwechsel   den Übergang zwischen lokalen Trivialisierungen beschreiben, genügen sie der Cozykel-Bedingung   (siehe auch Čech-Kohomologie); insbesondere folgen   und  .

Ein Prinzipalbündel ist ein  -Bündel, bei dem die Faser mit   identifiziert wird und auf dem eine Fasern erhaltende Rechts- -Wirkung auf dem Totalraum erklärt ist.

LiteraturBearbeiten

  • Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951 (Princeton Mathematical Series 14, ISSN 0079-5194), (7. printing, and 1. paperback printing. ebenda 1999, ISBN 0-691-00548-6 (Princeton Landmarks in Mathematics and Physics. = Princeton Paperbacks)).
  • David Bleecker: Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley publishing, Reading MA 1981, ISBN 0-201-10096-7, Kapitel 1.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik. Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6 (Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik).

WeblinksBearbeiten