Faserbündel

Begriff der Topologie

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Faserbündel ein topologischer Raum, der lokal als kartesisches Produkt zweier topologischer Räume dargestellt werden kann, zusammen mit einer Abbildung, die diese Ähnlichkeit wiedergibt.

Faserbündel spielen eine wichtige Rolle in der Homotopietheorie, Differentialgeometrie und Differentialtopologie.

GeschichteBearbeiten

Das Konzept eines Faserbündels kam erstmals im Zusammenhang mit der Topologie und Geometrie von Mannigfaltigkeiten auf.[1] Herbert Seifert führte im Jahr 1933 die Begriffe Faser und gefaserter Raum ein.[2]

Die erste Definition eines Faserbündels gab Hassler Whitney im Jahr 1935 unter dem Namen Sphären-Raum (engl. sphere space). In den Jahren von 1935 bis 1940 wurden Faserbündel in der Mathematik ein eigenes Forschungsgebiet. Die Arbeiten von Whitney, Heinz Hopf und Eduard Stiefel gaben Ausblicke auf die Bedeutung von Faserbündeln in Topologie und Differentialgeometrie.[3]

Bis zum Jahr 1950 wurde die Definition eines Faserbündels klar notiert und die Theorie über Homotopieklassifikation und Charakteristikklassen von Faserbündeln von mehreren Mathematikern, darunter Shiing-Shen Chern, Lew Pontrjagin, Stiefel und Whitney, vorangetrieben. In den Jahren von 1950 bis 1955 konnte Friedrich Hirzebruch unter Verwendung der Charakteristikklassen von Faserbündeln den Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch beweisen. John Milnor gab eine Konstruktion eines universellen Faserbündels für beliebige topologische Gruppen im Jahr 1955 an. In den frühen 1960er entwickelten Alexander Grothendieck, Michael Atiyah und Hirzebruch eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, die K-Theorie, mit Hilfe von Stabilitätsklassen von Vektorbündeln.[4]

DefinitionBearbeiten

Ein Faserbündel ist ein Quadrupel   bestehend aus topologischen Räumen  ,   und   und einer stetigen surjektiven Abbildung  , wobei für jedes   eine offene Umgebung   von   und ein Homöomorphismus   existieren, sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Hierbei ist   die natürliche Projektion. Ein solcher Homöomorphismus   wird lokale Trivialisierung des Bündels und die Abbildung   Projektion genannt. Der Raum   heißt der Basisraum des Bündels,   der Totalraum und   die Faser.

Der Raum   ist mit der Produkttopologie versehen und   mit der Teilraumtopologie.

Um zusätzlich die Faser des Bündels zu nennen, wird auch die Notation   für ein Faserbündel verwendet. Hierbei ist die Abbildung   die Inklusion und   wird mit  , der Faser über einem Punkt  , identifiziert.[5]

Jedes Faserbündel ist eine Serre-Faserung.[6]

BeispieleBearbeiten

Triviales BündelBearbeiten

Sei   und   die Projektion auf den ersten Faktor, dann ist   nicht nur lokal ein Produkt, sondern auch global. Ein solches Faserbündel heißt triviales Bündel oder Produktbündel.[7]

ÜberlagerungBearbeiten

Ein Faserbündel mit diskreter Faser ist eine Überlagerung. Ebenso ist jede Überlagerung, deren Fasern alle die gleiche Kardinalität haben, ein Faserbündel mit diskreter Faser. Insbesondere ist eine Überlagerung über einem zusammenhängenden Basisraum ein Faserbündel.[8]

MöbiusbandBearbeiten

 
Möbiusband

Das Möbiusband ist ein anschauliches Beispiel für ein nichttriviales Faserbündel. Der Basisraum ist die Kreislinie  , die mittig des Bandes verläuft. Die Faser ist durch ein abgeschlossenes Intervall gegeben, z. B.  

Der Totalraum ist gegeben durch den Quotientenraum   mit der Äquivalenzrelation   gegeben durch   Die Bündel-Projektion   ist die von der Projektion   induzierten Abbildung, d. h. eine Äquivalenzklasse  wird unter der Bündel-Projektion auf die Äquivalenzklasse   abgebildet, wobei die Äquivalenzrelation auf   durch   gegeben ist.

Das entsprechende triviale Bündel   ist ein Zylinder. Möbiusband und Zylinder unterscheiden sich durch eine Verdrehung der Faser. Diese Verdrehung ist nur global sichtbar, lokal sind Möbiusband und Zylinder identisch.[9]

Kleinsche FlascheBearbeiten

 
Kleinsche Flasche

Ein weiteres nichttriviales Faserbündel ist die Kleinsche Flasche. Der Basisraum und die Faser sind durch   und der Totalraum durch den Quotientenraum   gegeben, wobei die Äquivalenzrelation   durch   und   gegeben ist. Die Bündel-Projektion   bildet ein Element   auf   mit der Äquivalenzrelation   auf   ab.

Das entsprechende triviale Bündel   ist ein Torus, der lokal von der Kleinschen Flasche nicht unterscheidbar ist.[10]

Hopf-BündelBearbeiten

Das Hopf-Bündel   hat als Faser, Totalraum und Basisraum Sphären und ist eines der ersten entdeckten nicht trivialen Faserbündel. Es ist ein Spezialfall für   des Faserbündels   über dem  -dimensionalen komplexen projektiven Raum. Weitere Hopf-Bündel, auch verallgemeinerte Hopf-Bündel genannt, lassen sich durch Ersetzen der komplexen Zahlen mit den reellen Zahlen, den Quaternionen und den Oktionen herleiten:

  • Die Überlagerung   über dem  -dimensionalen projektiven Raum ergibt für   das reelle Hopf-Bündel  
  • Für die Quaternionen ergibt sich das Hopf-Bündel  
  • Für die Oktionen ergibt sich das Hopf-Bündel  

Weitere Faserbündel, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind, existieren nicht. Dies ist eine Folgerung aus dem Satz von Adam, welcher das Problem von H. Hopf über die Anzahl der Abbildungen zwischen Sphären mit Hopf-Invariante 1 löst.[11]

SchnittBearbeiten

Der Schnitt eines Faserbündels   ist eine stetige Abbildung   die zur Projektion   rechtsinvers ist. Für alle   gilt, dass die Verknüpfung von Projektion und Schnitt gleich der Identität ist:   Anders ausgedrückt liegt für alle   das Bild des Schnitts in der Faser über    

Ein lokaler Schnitt eines Faserbündels ist eine stetige Abbildung   wobei   eine offene Teilmenge ist und   für alle   gilt.[12]

BündelmorphismusBearbeiten

Ein Bündelmorphismus (auch Bündelabbildung genannt) zwischen zwei Faserbündeln   und   ist eine Abbildung, die die Bündelstruktur erhält; in gewissem Sinne ist es eine Faser-erhaltende Abbildung. Genauer ist ein Bündelmorphismus durch ein Tupel   von zwei Abbildungen   und   gegeben, sodass   gilt. Die Situation wird durch das folgende kommutative Diagramm verdeutlicht:

Eine Faser über   wird unter   auf eine Faser über   abgebildet; dies wird durch die Beziehung   dargestellt.

Sind die Basisräume identisch, so ist der Bündelmorphismus durch   gegeben und man spricht von einem  -Morphismus oder einem Bündelmorphismus über  , wobei   gilt. Die Beziehung   ist durch das folgende Diagramm gegeben:

Für alle   gilt die Bedingung   weshalb   auch Faser-erhaltend genannt wird.[13]

KoordinatenbündelBearbeiten

Für jeden Basisraum eines Faserbündels existiert ein Atlas   von Karten, wobei   offene Teilmengen und   lokale Trivialisierungen des Faserbündels sind. Zwei Karten   und   können mittels stetiger Kartenwechsel   gewechselt werden. Die Kartenwechsel geben Auskunft darüber, welche Symmetrien der Fasern beim Übergang benutzt werden, weshalb sie auch Übergangsfunktionen genannt werden. Für ein Punkt   ist die Übergangsfunktion durch den Ausdruck   gegeben. Das folgende Diagramm verdeutlicht die Situation:

In der ersten Zeile ist die erste Komponente durch die Identität und die zweite Komponente durch die Übergangsfunktion gegeben.[14]

Eine topologische Transformationsgruppe   eines topologischen Raumes   relativ zu einer Abbildung   ist eine topologische Gruppe   sodass:

  •   stetig ist
  •   wobei   die Identität von   ist und
  •   für alle   und  

Oft betrachtet man mehr als nur eine solche Abbildung   und ersetzt deshalb   durch  [15]

Ein Koordinatenbündel ist ein Faserbündel zusammen mit einer effektiven topologischen Transformationsgruppe   sodass die folgenden zwei Bedingungen gelten:

  • Für jedes   und   entspricht der Homöomorphismus   der Operation eines Gruppenelements in  
  • für jedes   ist die Abbildung   mit   stetig.

Die Abbildungen   heißen Koordinaten-Übergangsfunktionen (teilweise auch nur Übergangsfunktionen genannt[16]) und   heißt die Strukturgruppe des Bündels. Die Koordinaten-Überangsfunktionen haben die folgenden drei Eigenschaften:

  1.   für jedes   und jedes  
  2.   für jedes  
  3.   für jedes  

Zwei Koordinatenbündel mit selbem Basisraum und Totalraum, gleicher Faser, Projektion und Strukturgruppe heißen äquivalent, wenn die Atlanten  und   für zwei Indexmengen   und   die folgenden zwei Bedingungen erfüllen:

  • Für jedes   stimmt   mit der Operation eines Gruppenelements überein und
  • die so definierten Koordinaten-Übergangsfunktionen   sind stetig.

Ein  -Faserbündel ist eine Äquivalenzklasse von Koordinatenbündeln. Häufig wird ein  -Faserbündel auch als maximales Koordinatenbündel definiert.[17]

Der Bündelkonstruktionssatz liefert Bedingungen, unter welchen die Existenz eines Koordinatenbündels garantiert ist:

Für jede topologische Transformationsgruppe   von einem Raum   und System von Übergangsfunktionen in einem Raum  , das heißt eine Überdeckung   und eine Menge   von stetigen Abbildungen mit den drei oben genannten Eigenschaften für Koordinaten-Übergangsfunktionen, existiert ein Koordinatenbündel mit Basisraum   Faser   Strukturgruppe   und Übergangsfunktionen  [18]

HauptfaserbündelBearbeiten

Ein  -Hauptfaserbündel ist ein Faserbündel   mit Faser   und einer Strukturgruppe   die auf der Faser durch Linksmultiplikation operiert. Die Strukturgruppe operiert frei auf dem Totalraum durch Rechtsmultiplikation mit Bahnenraum  [19]

Eine offene Überdeckung   von   wird abzählbar genannt, falls eine lokal endliche Zerlegung der Eins existiert:

  mit   für jedes  

Ein  -Hauptfaserbündel   heißt abzählbar, falls eine abzählbare Überdeckung   von   existiert, sodass die eingeschränkten Bündel   für jedes   triviale Bündel sind. Ein abzählbares  -Hauptfaserbündel heißt universelles Bündel, falls für jeden Raum   die Abbildung   von der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von   nach   in die Menge der Isomorphieklassen von  -Hauptfaserbündeln eine Bijektion ist. Bei einem universellen Bündel   wird der Basisraum klassifizierender Raum von   genannt.[20]

Hauptfaserbündel spielen eine wichtige Rolle bei der Klassifikation von Bündeln. Zudem kann jedes  -Faserbündel mit einem Hauptfaserbündel assoziiert werden und umgekehrt jedes Hauptfaserbündel mit einem  -Faserbündel.

Assoziierte HauptfaserbündelBearbeiten

Für ein gegebenes  -Faserbündel lässt sich ein  -Hauptfaserbündel konstruieren. Die Existenz ist durch den Bündelkonstruktionssatz gegeben, wobei die Faser als   gewählt wird und   zusätzlich auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert. Der Basisraum und das System von Übergangsfunktionen werden identisch mit denen des  -Faserbündels gewählt.[21]

Assoziierte G-FaserbündelBearbeiten

Für ein gegebenes  -Hauptfaserbündel   und einen links  -Raum   lässt sich ein  -Faserbündel konstruieren:

Auf dem Produktraum   ist eine rechts  -Raum Struktur durch   definiert. Das  -Faserbündel ist durch die Abbildung   mit   und der Faser   gegeben.[22]

VektorbündelBearbeiten

Ein Vektorbündel vom Rang   über einem Körper   ist ein Faserbündel   dessen Fasern die Struktur eines  -dimensionalen  -Vektorraumes haben und zusätzlich jede lokale Trivialisierung   für ein   einen  -linearen Isomorphismus auf den einzelnen Fasern induziert. Das bedeutet, dass die Abbildung   eingeschränkt auf ein   ein Isomorphismus ist und somit   gilt. Häufig betrachtet man reelle oder komplexe Vektorbündel, bei denen der Körper   durch die reellen Zahlen   bzw. durch die komplexen Zahlen   gegeben sind.

Es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den Isomorphieklassen von Vektorbündeln mit Rang   von parakompakten Räumen   und der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von   in die Graßmann-Mannigfaltigkeit von  -dimensionalen Unterräumen in    [23]

BeispieleBearbeiten

  • Das Tangentialbündel der   mit Totalraum   und Projektion   ist ein Vektorbündel mit Fasern   für jedes  
  • Das kanonische Vektorbündel   mit Rang   der Graßmann-Mannigfaltigkeit   ist durch den Totalraum   und die Projektion   gegeben.[24]

SphärenbündelBearbeiten

Ein  -Sphärenbündel ist ein Faserbündel   mit der  -Sphäre   als Faser. Oft ist ein Sphärenbündel zusammen der orthogonalen Gruppe   als Strukturgruppe gegeben.[25]

Ein Sphärenbündel wird orientierbar genannt, falls die Strukturgruppe durch die Drehgruppe gegeben ist.[26]

Die Kohomologie von Sphärenbündel kann mittels der Gysin-Sequenz berechnet werden.

Kohomologie von FaserbündelnBearbeiten

Die Bestimmung der Kohomologiegruppen von Faserbündeln ist deutlich schwieriger, als die Bestimmung der Homotopiegruppen. Die Homotopiegruppen sind durch eine lange exakte Sequenz gegeben, die Kohomologiegruppen haben dagegen nur unter bestimmten Voraussetzungen eine lange exakte Sequenz.

Für ein triviales Bündel ist die Beziehung der Kohomologiegruppen durch die Künneth-Formel gegeben. Für beliebige Faserbündel werden Hilfsmittel, wie Spektralsequenzen benötigt.

Der Satz von Leray-Hirsch liefert ausreichende Bedingungen an ein Faserbündel, sodass die Struktur der Kohomologiegruppen der eines trivialen Bündels sehr ähnlich ist.

Für  -Sphärenbündel   die zusätzlich eine Orientierbarkeitsbedingung erfüllen, existiert eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen. Die Sequenz ist unter dem Namen Gysin-Sequenz bekannt:

 

Hierbei ist   eine bestimmte Eulerklasse in  [27]

BeispieleBearbeiten

  • Das Hopf-Bündel   hat nicht die Kohomologiestruktur eines trivialen Bündels, da   gilt.[28]
  • Für das Faserbündel   gilt:  [29]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Herbert Seifert: Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume. Band 60. Acta Mathematica, 1933, S. 147–238, doi:10.1007/BF02398271.
  2. Hassler Whitney: Sphere-Spaces. Band 21, Nr. 7. Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America, 12. Juni 1935, S. 464–468, doi:10.1073/pnas.21.7.464, PMC 1076627 (freier Volltext).
  3. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0. Preface
  4. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8. Preface
  5. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 376–377.
  6. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 379.
  7. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 3.
  8. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 377.
  9. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 377.
  10. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 4.
  11. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 377–379.
  12. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8, S. 11.
  13. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8, S. 14.
  14. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-45952-2, S. 184, doi:10.1007/978-3-662-45953-9.
  15. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 7.
  16. James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology. 1991, S. 77–80.
  17. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 6–9.
  18. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 14.
  19. James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology. 1991, S. 84.
  20. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8, S. 48–50.
  21. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 36.
  22. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8, S. 43–44.
  23. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8, S. 23.
  24. Dale Husemoller: Fibre Bundles. Springer Verlag, Princeton NJ 1994, ISBN 978-0-387-94087-8, S. 12–13.
  25. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-94426-5, S. 91, doi:10.1007/978-1-4684-9322-1.
  26. Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0, S. 34.
  27. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 438.
  28. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 432.
  29. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 434.

WeblinksBearbeiten