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Hier wird das Tangentialbündel des Kreises illustriert. Das erste Bild zeigt die Tangentialräume am Kreis und im zweiten Bild werden diese Räume zu einem Bündel zusammengefasst.

Tangentialbündel ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie und Differentialtopologie. Es handelt sich um die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume. Hat das Tangentialbündel eine besonders einfache Struktur, dann nennt man die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit parallelisierbar.

DefinitionBearbeiten

Das Tangentialbündel   einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   ist ein Vektorbündel. Als Menge ist es als die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von   definiert:

 

Die Vektorraumstruktur in den Fasern   ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.

Ist M eine  -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare Umgebung von  , dann ist TU diffeomorph zu   das heißt lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu  .

Ein Tangentialbündel erhält durch die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit wieder eine differenzierbare Struktur. Man nennt einen Atlas des Tangentialbündels, in dem alle Karten die Form   haben, eine lokale Trivialisierung. Die Topologie und differenzierbare Struktur bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit   mit trivialem Tangentialbündel (das heißt   ist als Bündel isomorph zu  ) nennt man parallelisierbar.

BeispieleBearbeiten

Parallelisierbare MannigfaltigkeitenBearbeiten

  •  , das Tangentialbündel ist  
  • Sei   die 1-Sphäre. Das Tangentialbündel ist der unendlich lange Zylinder, das heißt  
  • Jede endlichdimensionale Lie-Gruppe  , denn man kann eine Basis für den Tangentialraum   am neutralen Element   wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz   transportieren, um eine Trivialisierung von   zu erhalten.
  • Jede orientierbare geschlossene  -Mannigfaltigkeit.

Nichttriviale TangentialbündelBearbeiten

  •   mit  , denn nach dem Satz vom Igel gibt es auf der  -Sphäre kein nirgendwo verschwindendes, stetiges tangentiales Vektorfeld.
  • Raoul Bott und John Milnor bewiesen 1958 als Konsequenz aus dem Bott-Periodizitätssatz, dass   und   die einzigen parallelisierbaren Sphären sind.[1]

Natürliche ProjektionBearbeiten

Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung

 

definiert durch

 

Dabei ist   und  . Es gilt also   für alle  .

KotangentialbündelBearbeiten

Analog zum Tangentialbündel ist auch das Kotangentialbündel definiert. Sei   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und   ihr Tangentialraum am Punkt  , so wird mit   der Dualraum des Tangentialraums, den man Kotangentialraum nennt, bezeichnet. Das Kotangentialbündel   von   ist nun als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume definiert. Das heißt, es gilt

 

Auch auf dem Kotangentialbündel lässt sich auf natürliche Weise wieder eine differenzierbare Struktur definieren.

Einheits-TangentialbündelBearbeiten

Das Einheits-Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit   mit riemannscher Metrik   besteht aus allen Tangentialvektoren der Länge 1:

 

Das Einheits-Tangentialbündel ist ein Faserbündel, aber kein Vektorraumbündel. Da die Fasern

 

diffeomorph zu einer Sphäre sind, spricht man auch von einem Sphärenbündel.

VektorfelderBearbeiten

Ein Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   ist eine Abbildung  , die jedem Punkt   einen Tangentialvektor   mit Fußpunkt   zuordnet. In der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie betrachtet man vor allem glatte Vektorfelder, also solche, die glatte Abbildungen von   nach   sind.

LiteraturBearbeiten

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bott-Milnor: On the parallelizability of the spheres. Bull. Amer. Math. Soc. 64 1958 87–89. (pdf)