Schnitt (Faserbündel)

Funktion von einer Mannigfaltigkeit in ein Bündel

Schnitte sind Abbildungen, welche in der algebraischen Topologie, insbesondere in der Homotopietheorie, untersucht werden. Insbesondere interessiert man sich dafür, unter welchen Bedingungen solche Abbildungen existieren. Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel von Schnitten sind die Differentialformen.

MotivationBearbeiten

Ein Schnitt kann als Verallgemeinerung des Graphen einer Funktion aufgefasst werden. Der Graph einer Abbildung   kann mit einer Funktion   mit Werten in dem kartesischen Produkt   identifiziert werden. Die Funktion   hat die Form

 

Ist   die Projektion auf die erste Komponente, so gilt  . Wie die folgende Definition zeigen wird, ist   ein Spezialfall eines Schnittes.

Mit Hilfe von Schnitten in Faserbündeln lässt sich obige Konstruktion auch auf Mengen   verallgemeinern, welche nicht aus kartesischen Produkten bestehen.

DefinitionBearbeiten

 
Die Abbildung s ist ein Schnitt in einem Faserbündel p : EB. Dieser Schnitt s erlaubt es, den Basisraum B mit dem Teilraum s(B) von E zu identifizieren.

SchnittBearbeiten

Es sei   ein Faserbündel, bestehend aus dem Totalraum  , dem Basisraum  , der Bündelprojektion   und der Faser  . Ein (globaler) Schnitt in einem Faserbündel ist eine stetige Abbildung   so dass

 

für alle   gilt. Die Abbildung   ist also ein Rechtsinverses zur Bündelprojektion  . Die Menge der (globalen) Schnitte wird oftmals mit   oder mit   bezeichnet.

Schnitt mit kompaktem TrägerBearbeiten

Es sei   ein Vektorbündel. Ein Schnitt   heißt Schnitt mit kompaktem Träger, falls es eine kompakte Menge   gibt mit   für  . Die Menge der Schnitte mit kompaktem Träger wird mit   beziehungsweise mit   bezeichnet. Statt des Zusatzes   findet auch der Zusatz   Verwendung.

Glatter SchnittBearbeiten

Ist   eine glatte Mannigfaltigkeit,   ein glattes Vektorbündel über   und ist die Abbildung   aus obigem Abschnitt glatt, so nennt man   einen glatten (globalen) Schnitt. Zur Unterscheidung gegenüber den zuvor definierten Schnitten notiert man diese Menge dieser Schnitte mittels  . Kann keine Verwechslung zwischen glatten und nicht glatten Schnitten auftreten, so verzichtet man auch oft wieder auf den Zusatz  .

BeispieleBearbeiten

  1. Sei   ein triviales Faserbündel und sei   die Projektion auf  . Die Schnitte   in diesem Faserbündel sind natürlich isomorph zu den stetigen Funktionen  
  2. Eine Vektorfeld   an einer Mannigfaltigkeit   ist eine Abbildung  , welche jeden Punkt   der Mannigfaltigkeit mit einem Punkt   des entsprechenden Tangentialraums paart. Der Punkt   wird also auf   abgebildet.
  3. Ein weiteres bekanntes Beispiel von Schnitten sind die Differentialformen. Dies sind Schnitte in der äußeren Potenz des Kotangentialbündels.
  4. Es sei   ein Vektorbündel, der Null-Schnitt ist definiert durch   für alle  . Es interessiert jedoch, wann ein Vektorbündel Schnitte hat, welche nirgendwo Null sind. Diese Frage ist zum Beispiel wichtig, um die Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit zu untersuchen. Ein wichtiges Resultat zu dieser Frage ist der Satz vom Igel.

Lokaler SchnittBearbeiten

Allgemeine Faserbündel haben im Gegensatz zu den obigen Beispielen nicht immer globale Schnitte. Darum scheint es sinnvoll Schnitte lokal zu definieren.

Sei   eine offene Teilmenge. Ein lokaler Schnitt in einem Faserbündel   ist eine Abbildung  , für welche ebenfalls   für alle   gilt.

LiteraturBearbeiten

  • Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.