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Zylinder (Geometrie)

geometrischer Körper
senkrechter Kreiszylinder: Höhe , Radius

Ein Zylinder (lat. cylindrus, altgriechisch κύλινδρος kýlindros, von κυλίνδειν kylíndein ‚rollen‘, ‚wälzen‘) ist im einfachsten Fall eine

  • Fläche, deren Punkte von einer festen Gerade, der Achse, denselben Abstand haben.

Da solch eine Fläche unendlich ausgedehnt ist, beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz (s. Bild).

  • Sind die Schnittebenen senkrecht zur Achse, entsteht ein senkrechter (oder gerader) Kreiszylinder mit Radius und Höhe . Die so beschnittene Fläche heißt Mantelfläche des Zylinders.

Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Strecke um die (parallele) Zylinderachse erzeugt denken kann, wird er auch Drehzylinder genannt. Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende.

In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Schnittkreisflächen eingeschlossen wird.

In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemeiner (siehe Abschnitt allgemeiner Zylinder)

Inhaltsverzeichnis

KreiszylinderBearbeiten

In der Praxis spielt der senkrechte Kreiszylinder in verschiedenen Variationen eine wichtige Rolle. Deshalb werden hierfür konkrete Formeln angegeben.

Senkrechter KreiszylinderBearbeiten

 
Gerader Kreiszylinder mit abgewickeltem Mantel

Es ergibt sich für

  • das Volumen   (Grundfläche x Höhe)
  • die Mantelfläche   (die Abwicklung ist ein Rechteck der Länge   und Höhe  )
  • die Oberfläche  

Ein gerader Kreiszylinder mit h = 2r heißt gleichseitiger Zylinder. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Zylinder mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein Quadrat.

Ist der Querschnitt eine Ellipse mit den Halbachsen  , so ist

  •   Für die Mantelfläche gibt es keine einfache Formel.

HohlzylinderBearbeiten

 
Hohlzylinder

Besitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder. Für einen Hohlzylinder – etwa ein gerades Rohrstück – sind die bestimmenden Größen neben der Höhe   der Außenradius   und der Innenradius  . Die Wanddicke b ist somit  .

  • Das Volumen ist  
  • die Mantelfläche (innen und außen)  
  • die Oberfläche  

ZylinderabschnittBearbeiten

 
schräg abgeschnittener gerader Kreis-Zylinder

Schneidet man einen geraden Kreiszylinder (Radius  ) mit einer Ebene schräg ab, entsteht als Schnittkurve eine Ellipse. Hat der untere Zylinderabschnitt die minimale Höhe   und die maximale Höhe  , so hat die Schnittellipse

  • die große Halbachse   und die kleine Halbachse  
Die Exzentrizität der Schnittellipse ist  , wobei   der Neigungswinkel der Schnittebene ist.
  • das Volumen  
  • die Mantelfläche  
  • die Oberfläche  

Bemerkung: Das Volumen und die Mantelfläche sind gleich dem des Zylinders mit der mittleren Höhe  .

Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders (Tank-Problem)Bearbeiten

 
Teilweise gefüllter liegender Zylinder (Tank)

Die Berechnung des Inhalts   eines teilweise gefüllten liegenden Kreiszylinders kann anhand der Länge  , des Radius   sowie der Füllhöhe   vorgenommen werden. Nach der oben angegebenen Gleichung Volumen = Grundfläche · Höhe ergibt sich das Volumen der Füllung durch Multiplikation des Flächeninhalts des Kreissegments mit der Länge   des Zylinders:

 .

Allgemeiner ZylinderBearbeiten

 
Definition eines allgemeinen Zylinders und Beispiel schiefer Kreiszylinder
 
Beispiele von Zylindern: oben Kreis und elliptischer Zylinder, unten: Prismen

In der Mathematik definiert man einen Zylinder(-Mantel) allgemeiner:

  • Eine ebene Kurve   in einer Ebene   wird entlang einer Gerade, die nicht in   enthalten ist, um eine feste Strecke   verschoben. Je zwei sich entsprechenden Punkte der Kurven   und der verschobenen Kurve   werden durch eine Strecke verbunden. Die Gesamtheit dieser parallelen Strecken bildet die zugehörige Zylinder-Fläche (siehe Bild). Die Kurve   nennt man Leitkurve. Eine auf dem Zylinder liegende Gerade heißt Erzeugende oder Mantellinie.

Ist die Kurve ein Kreis entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Falls   ist, ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder.

Ist   eine geschlossene Kurve, kann man die Mantelfläche mit den beiden Begrenzungsflächen wieder als Oberfläche eines Körpers auffassen. Ist die Kurve   nicht geschlossen, z. B. ein Parabelbogen (siehe unten), so ist der Zylinder nur die oben erklärte Mantelfläche, die allerdings Teil einer Oberfläche eines Körpers sein kann.

Die geometrische Besonderheit einer Zylinderfläche besteht in der folgenden Tatsache:

  • Eine Zylinderfläche enthält Geraden, sie ist eine Regelfläche, und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden.

Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderfläche für die Herstellung von Blechverkleidungen interessant.

  • Ist die erzeugende Kurve ein Polygon, so spricht man von einem Prisma (siehe Beispiele).

Eigenschaften eines allgemeinen ZylindersBearbeiten

 
Schiefer Zylinder: Bezeichnungen
 
schiefer elliptischer Zylinder in allgemeiner Lage
 
senkrechter Kreiszylinder in allgemeiner Lage
 
parabolischer Zylinder
 
hyperbolischer Zylinder

Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines allgemeinen Zylinders berechnen sich wie folgt:

  • Volumen:   falls   eine geschlossene Kurve ist,
wobei   die Grundfläche (von   eingeschlossene Fläche) und   die Höhe ist (siehe Cavalierisches Prinzip).

Bei einem Prisma lässt sich die Grundfläche   entweder direkt (Rechteck) oder durch eine geeignete Zerlegung in Drei- und/oder Rechtecke berechnen (siehe Flächeninhalt). Ist   eine stückweise glatte Kurve, kann man durch geeignete Integrale direkt oder numerisch den Inhalt bestimmen.

wobei   der Umfang (Bogenlänge) des Querschnitts   (Schnittkurve   zu den Mantellinien) und   die Länge des Mantels ist (siehe Bild). Man beachte:   kann man als senkrechte Parallelprojektion der Leitkurve   auf irgendeine Querschnittsebene (senkrecht zu den Mantellinien) auffassen.

Bei einem senkrechten Zylinder ist   und   die Länge der Leitkurve  .

Bei einem schiefen Zylinder der Höhe   ist   wobei   der Winkel der Zylinderachse (Richtung von  ) und der Normalen der Ebene   ist. Die Querschnittkurve   ist im Falle eines schiefen Kreis- oder elliptischen Zylinders eine Ellipse, bei einem Prisma ein Polygon. Der Umfang   ist bei einem Polygon einfach die Summe der Kantenlängen, bei einem Kreis  . Bei einer stückweise glatten Leitkurve   kann man versuchen, die Länge der Querschnittkurve   mit Hilfe eines Kurvenintegrals zu berechnen. Aber selbst bei einer Ellipse, die kein Kreis ist, ist dies schon ein Problem (siehe elliptisches Integral), das man nur numerisch lösen kann.

  • Oberfläche:  , falls   eine geschlossene Kurve ist.

Analytische BeschreibungBearbeiten

Die Mantelfläche eines senkrechten Kreiszylinders mit Radius   und Höhe  , der auf der x-y-Ebene steht und die z-Achse als Achse besitzt, lässt sich durch eine Gleichung in x,y und eine Ungleichung für z beschreiben:

  •  

Will man den Vollzylinder beschreiben, muss man   durch   mit   ersetzen.

Ersetzt man die Kreisgleichung durch die Gleichung einer Ellipse, erhält man die Beschreibung eines senkrechten elliptischen Zylinders:

  •   Das Volumen ist  

Eine Parameterdarstellung eines senkrechten Kreis- bzw. elliptischen Zylinders erhält man, in dem man die übliche Parameterdarstellung eines Kreises bzw. einer Ellipse verwendet:

  •  
  •  

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Zylinders ist schwierig anzugeben. Die Parameterdarstellung eines beliebigen elliptischen Zylinders dagegen relativ einfach:

  •  

Dabei ist   der Mittelpunkt der Bodenellipse und   sind drei linear unabhängige Vektoren.   zeigt in Richtung der Zylinderachse (siehe Bild).

Sind die drei Vektoren   paarweise orthogonal und ist  , so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiszylinder mit Radius   und Höhe   beschrieben (siehe Bild).

Dass ein beliebiger elliptischer Zylinder auch immer Kreise enthält wird in Kreisschnittebene gezeigt.

Diese Art von Parameterdarstellung ist sehr flexibel. Z. B. stellt

  •  

einen parabolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Bild, Parabel).

Ein senkrechter parabolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten Kreiszylinder auch durch

  •  

beschreiben.

Die Parameterdarstellung

  •  

stellt einen hyperbolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Hyperbel).

Ein senkrechter hyperbolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten elliptischen Zylinder durch

  •  

beschreiben.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 251.
  • Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. 154–157 (Auszug (Google)).

WeblinksBearbeiten

  Commons: Zylinder (Geometrie) – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
  Wikisource: Meyers Blitz-Lexikon – Quellen und Volltexte