Elliptisches Integral

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

wobei eine rationale Funktion in zwei Variablen und ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art:

II. Art:

III. Art:

Dabei ist Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter statt in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf erweitert.

Vollständige elliptische IntegraleBearbeiten

 
Graph der vollständigen elliptischen Integrale   und  

Definition der vollständigen elliptischen IntegraleBearbeiten

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze  , spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion  .

 

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern   und   dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution   in die Legendre-Normalform überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter   in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern   und  
Konvention mit Parameter   Konvention mit Parameter  
I. Art: Jacobi-Form    
I. Art: Legendre-Normalform    
II. Art: Jacobi-Form    
II. Art: Legendre-Normalform    
III. Art: Jacobi-Form    
III. Art: Legendre-Normalform    

Definition der komplementären elliptischen IntegraleBearbeiten

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale   und   sind mit der komplementären Variable   wie im Folgenden dargestellt definiert.

 

Darstellung per PotenzreiheBearbeiten

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe darstellen.[1] Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument   abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument   in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

 
 

Darstellung per unendlichem ProduktBearbeiten

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable   zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von   und   bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art
Vollständiges elliptisches Integral I. Art Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert    
Rekursionsgleichung    
Produktformeln    

Darstellung per AGM-AlgorithmusBearbeiten

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt   den arithmetischen Mittelwert,   den geometrischen Mittelwert und   eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte   sind wie angegeben durch das Argument   definiert. Zu beachten ist, dass für   das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann   nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu   bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention   lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution  . In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision (  dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von   Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei   sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte Rekursionsgleichungen Elliptische Integrale
     
     
     
   
   

Durch Substitution gemäß   findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte Rekursionsgleichungen Elliptische Integrale
     
     

Spezielle Eigenschaften und IdentitätenBearbeiten

Hier sind  ,   und   wieder die komplementären Größen.

Spezielle Funktions-WerteBearbeiten

 

Spezielle IdentitätenBearbeiten

 
 
 
 
Hierbei löst der Jacobische Sinus-Amplitudinis-Ausdruck   für x die Gleichung   auf.

AbleitungenBearbeiten

 

UmkehrfunktionenBearbeiten

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt.

Unvollständige elliptische IntegraleBearbeiten

Definition der unvollständigen elliptischen IntegraleBearbeiten

 
Graph der elliptischen Integrale erster Art   in Legendre-Form für verschiedene Parameter  
 
Graph der elliptischen Integrale zweiter Art   in Legendre-Form für verschiedene Parameter  

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution   in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter   und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern   und  
Konvention mit Parameter   Konvention mit Parameter  
I. Art: Jacobi-Form    
I. Art: Legendre-Normalform    
II. Art: Jacobi-Form    
II. Art: Legendre-Normalform    
III. Art: Jacobi-Form    
III. Art: Legendre-Normalform    

Unvollständige elliptische Integrale als Stammfunktionen für algebraische WurzelfunktionenBearbeiten

Mit dieser Formel lassen sich die Kehrwerte der Quadratwurzeln von Polynomen vierten Grades integrieren:

 

 

Hierbei müssen die Werte a, d, 4acb² und 4dfe² alle vier positiv sein.

Alternative DarstellungenBearbeiten

Symmetrische Carlson-FormenBearbeiten

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische IntegraleBearbeiten

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen  ,   und   ausgerückt werden:

 
 
 

(für   und  )

Vollständige elliptische IntegraleBearbeiten

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

 
 
 

Bulirsch-IntegraleBearbeiten

Eine verallgemeinerte Version der vollständigen elliptischen Integrale ist das Bulirsch-Integral[2]

 

Es gilt[3]

 

Die Funktion cel hat den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der normalen elliptischen Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können.

 
 

Numerische AuswertungBearbeiten

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden.[4] Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen.[5] Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich.[6] Eine direkte numerische Quadratur z. B. mit dem tanh-sinh-Verfahren ist ebenfalls möglich.

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Eine klassische Anwendung der elliptischen Integrale ist die exakte Bewegung eines Pendels.

Umfang einer EllipseBearbeiten

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse. Im Folgenden ist eine Ellipsen-Parameterform   mit den Halbachsen  ,   angegeben. Das Ergebnis stellt sich mit dem vollständigen elliptischen Integral II. Art dar. Hierbei ist die Parameter-Konvention   verwendet.

 

Die Äquivalenz der letzten beiden Ausdrücke ist ersichtlich, wenn vorher   statt   ausgeklammert wird. Im letzten Ausdruck ist   für  . Die zugehörige Anwendung des unvollständigen elliptischen Integrals II. Art ergibt sich, indem die obere Integrationsgrenze als Variable   wie im Folgenden angesetzt wird. Damit ergibt sich die Bogenlänge   der Ellipse in Abhängigkeit vom Parameter  .

 

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen LadungsverteilungBearbeiten

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials   bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention   mit   angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert   die elektrische Gesamtladung,   den Radius des Ringes und   die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten   angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate   besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

 

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen DipolverteilungBearbeiten

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert   die  -Komponente des elektrischen Dipolmoments,   den Radius des Ringes und   die Vakuum-Permittivität. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention   mit   angegeben.

 

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen LeitersBearbeiten

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials   an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert   die elektrische Stromstärke,   den Radius des Ringleiters und   die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten   und mit dem Einheits-Basisvektor   in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention   mit   angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral  . Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung  .[7]

 

LiteraturBearbeiten

  • Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.
  • Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917.
  • P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971.
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siehe Eric W. Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus:
    Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt/Main 1991, S. 223.
  2. NIST Digital Library of Mathematical Functions 19.2: Bulirsch’s Integrals.
  3. Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. III. In: Numerische Mathematik. 13, Nr. 4, 1969, S. 305–315. doi:10.1007/BF02165405.
  4. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Hrsg.: Cambridge University Press. 3. Auflage. New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions.
  5. B. C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. Band 10, Nr. 1, März 1995, ISSN 1017-1398, S. 13–26, doi:10.1007/bf02198293.
  6. Cephes Mathematical Library.
  7. Peter Lowell Walstrom: Algorithms for Computing the Magnetic Field, Vector Potential, and Field Derivatives for Circular Current Loops in Cylindrical Coordinates. Office of Scientific and Technical Information (OSTI), 24. August 2017, doi:10.2172/1377379.