Elliptisches Integral

Familie spezieller mathematischer Funktionen

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

wobei eine rationale Funktion in zwei Variablen und ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art:
II. Art:
III. Art:

Dabei ist Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter statt in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf erweitert.

Vollständige elliptische IntegraleBearbeiten

 
Graph der vollständigen elliptischen Integrale   und  

Definition der vollständigen elliptischen IntegraleBearbeiten

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze  , spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion  , das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell'schen hypergeometrischen Funktion  

 

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern   und   dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution   in die Legendre-Normalform[1] überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter   in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern   und  
Konvention mit Parameter   Konvention mit Parameter  
I. Art: Jacobi-Form    
I. Art: Legendre-Normalform    
II. Art: Jacobi-Form    
II. Art: Legendre-Normalform    
III. Art: Jacobi-Form    
III. Art: Legendre-Normalform    

Definition der komplementären elliptischen IntegraleBearbeiten

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale   und   sind mit der komplementären Variable   wie im Folgenden dargestellt definiert.

 

Darstellung per PotenzreiheBearbeiten

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe darstellen.[2] Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument   abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument   in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

 
 
Beweis für die Potenzreihen:

Es gelten diese beiden binomischen Maclaurin-Reihen für |kx| < 1:

 
 

Zusätzlich ist jenes Integral für alle Zahlen n ∈ ℕ₀ gültig:

 

Deswegen gilt für das vollständige elliptische Integral erster Art:

 
 
 

Und für das vollständige elliptische Integral zweiter Art gilt:

 
 
 

Darstellung per unendlichem ProduktBearbeiten

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable   zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von   und   bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art
Vollständiges elliptisches Integral I. Art Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert    
Rekursionsgleichung    
Produktformeln    

Darstellung per AGM-AlgorithmusBearbeiten

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt   den arithmetischen Mittelwert,   den geometrischen Mittelwert und   eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte   sind wie angegeben durch das Argument   definiert. Zu beachten ist, dass für   das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann   nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu   bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention   lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution  . In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision (  dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von   Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei   sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte Rekursionsgleichungen Elliptische Integrale
     
     
     
   
   

Durch Substitution gemäß   findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte Rekursionsgleichungen Elliptische Integrale
     
     

Spezielle Eigenschaften und IdentitätenBearbeiten

Hier sind  ,   und   wieder die komplementären Größen.

Spezielle Funktions-WerteBearbeiten

 

Dabei bezeichnet   die Lemniskatische Konstante.

Spezielle IdentitätenBearbeiten

Spezielle Funktionswerte:[3]

 
 

Transformation des Arguments:[4]

 
 
 

Hierbei löst der Jacobische Sinus-Amplitudinis-Ausdruck   für x die Gleichung   auf.

Insgesamt gilt für alle Werte n ∈ ℕ und 0 ≤ k ≤ 1 folgende Formel:

 

Hierbei ist sn der Sinus Amplitudinis und dn das Delta amplitudinis.

AbleitungenBearbeiten

Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art werden so abgeleitet:

 
Beweis:

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals erster Art:

 
 
 

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals zweiter Art:

 
 

StammfunktionenBearbeiten

Stammfunktionen für das vollständige elliptische Integral erster, zweiter und dritter Art nach  :

 

Ursprungsstammfunktion für das vollständige elliptische Integral erster Art nach  :

 

Beispiel:

 

Ursprungsstammfunktion für das vollständige elliptische Integral zweiter Art:

 

Beispiel:

 

Dabei ist G die Catalansche Konstante und mit Ti₂(x) wird das Arkustangensintegral zum Ausdruck gebracht.

UmkehrfunktionenBearbeiten

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt. Die Umkehrfunktionen von den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art in Legendre-Form sind die Jacobischen Amplitudenfunktionen Sinus Amplitudinis (sn), Cosinus Amplitudinis (cn) und Delta Amplitudinis (dn).

Wenn man von diesen drei Funktionen die Kehrwertfunktionen mit Kürzeln ausdrücken möchte, dann müssen von den soeben gezeigten Funktionskürzeln die beiden Buchstaben jeweils ausgetauscht werden. Wenn eine der drei gezeigten Funktionen als Dividendfunktion durch eine andere von diesen drei Funktionen als Divisorfunktion geteilt wird, dann trägt das zweibuchstabige Kürzel der jeweiligen neuen Funktion an erster Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Dividendfunktion und an zweiter Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Divisorfunktion. Beispielsweise hat der Quotient des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Ampitudinis das Kürzel cd. Denn die Dividendfunktion ist der Cosinus Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel dieser Funktion ist das c. Und die Divisorfunktion ist das Delta Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel jener Funktion ist das d.

Die Jacobischen Amplitudenfunktionen haben genauso wie die trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen Additionstheoreme mit algebraischer Struktur, welche aus den Theoremen der unvollständigen elliptischen Integrale erster Art hervorgehen. Deswegen zählen die sn-Werte, cn-Werte und dn-Werte von den Produkten aus einer rationalen Zahl und dem elliptischen K-Integral des betroffenen Moduls komplett immer zu den algebraischen Zahlen.

Bei den Umkehrfunktionen der unvollständigen elliptischen Integrale zweiter Art ist das jedoch nicht der Fall. Diese inversen elliptischen Integrale zweiter Art haben keine Additionstheoreme mit algebraischer Struktur. Diese Funktionen ordnen die Bogenmaße beziehungsweise Kurvenlängen der Ellipsen den jeweiligen Höhen und Breiten der betroffenen Kurvenpunkte zu.

Unvollständige elliptische IntegraleBearbeiten

Definition der unvollständigen elliptischen IntegraleBearbeiten

 
Graph der elliptischen Integrale erster Art   in Legendre-Form für verschiedene Parameter  
 
Graph der elliptischen Integrale zweiter Art   in Legendre-Form für verschiedene Parameter  

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution   in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter   und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern   und  
Konvention mit Parameter   Konvention mit Parameter  
I. Art: Jacobi-Form    
I. Art: Legendre-Normalform    
II. Art: Jacobi-Form    
II. Art: Legendre-Normalform    
III. Art: Jacobi-Form    
III. Art: Legendre-Normalform    

AdditionstheoremeBearbeiten

Mit folgenden Theoremen können die unvollständigen elliptischen Integrale additiv verknüpft werden. Die Legendre-Normalform wird zur Darstellung verwendet.

Elliptische Integrale erster Art:

 

Elliptische Integrale zweiter Art:

  

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

 

ModultransformationBearbeiten

Mit folgenden Formeln wird der Modul transformiert:

 
 

Inesbesondere die analoge vollständige Formel wurde durch die Gebrüder Borwein in ihrem Werk Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity behandelt.

Für alle Werte n ∈ ℕ und |k| ≤ 1 gilt folgende Formel:

 

Alternative DarstellungenBearbeiten

Symmetrische Carlson-FormenBearbeiten

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische IntegraleBearbeiten

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen  ,   und   ausgerückt werden:

 
 
 

(für   und  )

Vollständige elliptische IntegraleBearbeiten

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

 
 
 

Bulirsch-IntegraleBearbeiten

Eine alternative Darstellung der unvollständigen elliptischen Integrale sind die Bulirsch-Integrale.[5][6]

Unvollständige Bulirsch-IntegraleBearbeiten

Die unvollständigen Bulirsch-Integrale sind:

 
 
 

Eine verallgemeinerte Version wurde 1994 zusammen mit einem effizienten Berechnungsalgorithmus eingeführt:[7]

  .

Relation zu den Legendre-Normalformen:

 

Die Bulirsch-Integrale haben den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der Legendre-Elliptischen-Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können:[7]

 
 

Vollständige Bulirsch-IntegraleBearbeiten

Die vollständigen Bulirsch-Integrale sind

 
 
 

und das verallgemeinerte vollständige Bulirsch-Integral[6]

  .

Es gilt[8]

 

Linearkombinationen vollständiger Legendre-Integrale:

 
 
 

Numerische AuswertungBearbeiten

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden.[9] Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen.[10] Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich.[11] Zu den derzeit effizientesten Verfahren gehört die Auswertung mit Hilfe des Bulirsch-Algorithmus.[12]

Bezug zur GammafunktionBearbeiten

Für alle n ∈ ℕ gilt folgender Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:

 

Die Richtigkeit dieser Formel wird im Artikel Gammafunktion erklärt.

Bei der Berechnung des abgebildeten Integrals für die Werte n = 3, 4, 6 und 8 erhält man folgende Resultate:

 

Mit der Berechnung dieser Integrale und der Anwendung der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes lassen sich die Gamma-Funktionswerte ermitteln. Der erste[13] und dritte[14] Gleichungskette von den hier genannten Gleichungsketten stellen äquianharmonische Rechenbeispiele dar. Die zweite[15][16] Gleichungskette repräsentiert ein lemniskatisches Rechenbeispiel, nämlich den lemniskatischen Arkussinus und behandelt hierbei seine Identität mit dem Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei als elliptischen Modul. Die vierte Gleichungskette[17] beinhaltet eine Stammfunktion, welche keine Umkehrfunktion einer Jacobi-Funktion darstellt, aber in so wie die vorherigen Gleichungsketten auf den von rationalen Zahlen kommenden elliptischen Lambda-Stern-Werten als Module basiert.

Legendresche IdentitätBearbeiten

Das vollständige elliptische Integral erster Art (Jacobische Viertelperiode) und das vollständige elliptische Integral zweiter Art von zwei zueinander elliptisch gegenverwandten Modulen stehen in der Beziehung[18] der Legendreschen Identität zueinander.

Für zwei Module, welche zueinander pythagoräische Gegenstücke sind, gilt diese Beziehung:[19][20]

 

Und für zwei Module, welche zueinander tangentielle Gegenstücke sind, gilt jene Beziehung:

 

Ramanujansche KreiszahlformelnBearbeiten

Mit folgender Formel über vollständige elliptische Integrale erster und zweiter Art lassen sich viele exemplarische Formeln rein algebraischer Art erzeugen, welche sehr schnell exakt zur Kreiszahl konvergieren. Dieses Verfahren wurde durch Srinivasa Ramanujan entdeckt und in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1814 niedergeschrieben:

 

Diese Formeln ist für alle Werte   gültig.

Tabellarisch werden hiermit einzelne Exemplare von elliptischem Modul und zugehöriger Kreiszahlformel aufgelistet. Dabei wird der jeweilige Modul k mit Hilfe der Elliptischen Lambda-Stern-Funktion angegeben:

Elliptischer Modul Kreiszahlformel
   
   
   
   
   

Die zuletzt genannte Formel ist die berühmteste unter diesen Formeln.

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Umfang einer EllipseBearbeiten

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse. Im Folgenden ist eine Ellipsen-Parameterform   mit den Halbachsen  ,   angegeben. Das Ergebnis stellt sich mit dem vollständigen elliptischen Integral II. Art dar. Hierbei ist die Parameter-Konvention   verwendet.

 

Die Äquivalenz der letzten beiden Ausdrücke ist ersichtlich, wenn vorher   statt   ausgeklammert wird. Im letzten Ausdruck ist   für  . Die zugehörige Anwendung des unvollständigen elliptischen Integrals II. Art ergibt sich, indem die obere Integrationsgrenze als Variable   wie im Folgenden angesetzt wird. Damit ergibt sich die Bogenlänge   der Ellipse in Abhängigkeit vom Parameter  .

 

Umfang und Flächeninhalt einer Cassinischen KurveBearbeiten

Die Cassinischen Kurven gehorchen für den Fall a < c folgender Relation für kartesische Koordinaten:

 

Dabei ist a die Brennweite und c ist der Abstand zwischen Brennpunkt und Schnittstelle von Graph und Ordinatenachse.

Für den Umfang der Cassinischen Kurve gilt:

 

Für den Flächeninhalt der Cassinischen Kurve gilt:

 

Mathematisches PendelBearbeiten

Eine klassische Anwendung der elliptischen Integrale ist die exakte Bewegung eines Pendels, bei welcher die Schwingungsdauer bei gegebenem Maximalauslenkungswinkel und gegebener Fadenlänge auf folgende Weise berechnet werden kann:

 

Dabei ist g ≈ 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung der Erde.

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen LadungsverteilungBearbeiten

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials   bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention   mit   angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert   die elektrische Gesamtladung,   den Radius des Ringes und   die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten   angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate   besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

 

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen DipolverteilungBearbeiten

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert   die  -Komponente des elektrischen Dipolmoments,   den Radius des Ringes und   die Vakuum-Permittivität. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention   mit   angegeben.

 

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen LeitersBearbeiten

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials   an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert   die elektrische Stromstärke,   den Radius des Ringleiters und   die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten   und mit dem Einheits-Basisvektor   in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention   mit   angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral  . Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung  .[21]

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. Seite 589 ff.
  • Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. 9th printing. New York: Dover, p. 591, 1972.
  • Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.
  • Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917.
  • P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971.
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997.
  • Mümtaz Karataş: A multi foci closed Curve: Cassini Oval, its properties and applications. Naval Postgraduate School, Monterey, Kalifornien, 2013, pp. 231–248
  • Kejing He, Xiaoqiang Zhou, Qian Lin: High accuracy complete elliptic integrals for solving the Hertzian elliptical contact problems. In: Computers and Mathematics with Applications. Band 73, Nr. 1, 2017, S. 122–128, doi:10.1016/j.camwa.2016.11.003.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc40301/m2/1/high_res_d/applmathser55_w.pdf
  2. Siehe Eric W. Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus:
    Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt/Main 1991, S. 223.
  3. Paul F. Byrd, Morris D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists. Springer Berlin Heidelberg, 1954, doi:10.1007/978-3-642-52803-3.
  4. EllipticK, Functional identities. Abgerufen am 29. November 2022.
  5. Roland Bulirsch: Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. In: Numerische Mathematik. Band 7, Nr. 1, Februar 1965, ISSN 0029-599X, S. 78–90, doi:10.1007/BF01397975.
  6. a b NIST Digital Library of Mathematical Functions 19.2: Bulirsch’s Integrals. Abgerufen am 29. November 2022.
  7. a b Toshio Fukushima, Hideharu Ishizaki: Numerical computation of incomplete elliptic integrals of a general form. In: Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy. Band 59, Nr. 3, Juli 1994, ISSN 0923-2958, S. 237–251, doi:10.1007/BF00692874 (Online).
  8. Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. III. In: Numerische Mathematik. Band 13, Nr. 4, 1969, S. 305–315, doi:10.1007/BF02165405.
  9. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Hrsg.: Cambridge University Press. 3. Auflage. New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions.
  10. B. C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. Band 10, Nr. 1, März 1995, ISSN 1017-1398, S. 13–26, doi:10.1007/bf02198293.
  11. Cephes Mathematical Library. Abgerufen am 29. November 2022.
  12. Toshio Fukushima: Applications and Experiments. DE GRUYTER, 31. Dezember 2014, Elliptic functions and elliptic integrals for celestial mechanics and dynamical astronomy, S. 187–226, doi:10.1515/9783110345667.187.
  13. Mathematics. How to integrate  ? Abgerufen am 29. November 2022 (englisch, Chat).
  14. Eric W. Weisstein: Lemniscate Function. Abgerufen am 3. Dezember 2022 (englisch).
  15. Eric W. Weisstein: Lemniscate. Abgerufen am 3. Dezember 2022 (englisch).
  16. Question. Numerically computing  . Abgerufen am 29. November 2022 (englisch).
  17. Lemniscate of Leaf Function - ProQuest. Abgerufen am 3. Dezember 2022.
  18. Paraman, Singh Noida, Uttar Pradesh, India: π(PI) and the AGM: Legendre's Identity. Abgerufen am 29. November 2022 (englisch).
  19. Legendre-Relation. Abgerufen am 29. November 2022.
  20. Legendre Relation. Abgerufen am 29. November 2022.
  21. Peter Lowell Walstrom: Algorithms for Computing the Magnetic Field, Vector Potential, and Field Derivatives for Circular Current Loops in Cylindrical Coordinates. Office of Scientific and Technical Information (OSTI), 24. August 2017, doi:10.2172/1377379.