Magnetisches Vektorpotential

vektorielle Größe, deren Rotation gleich der magnetischen Flussdichte ist
Physikalische Größe
Name magnetisches Vektorpotential
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI T·m = V·s·m−1 M1 L1 T−2 I−1

Das magnetische Vektorpotential , oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld dessen Rotation die magnetische Flussdichte ergibt

.

Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.

Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.

Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit .

DefinitionBearbeiten

Das magnetische Vektorpotential   ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential   durch die Gleichungen

 

definiert ist.   steht für die magnetische Flussdichte,   für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential   nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.

 

Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.

BerechnungBearbeiten

MagnetostatikBearbeiten

In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung, für die gilt (mit der Vakuumpermittivität   und der Vakuumpermeabilität  ):

 .

Daraus erhält man folgende einfache Darstellung des Vektorpotentials über eine Faltung (siehe Greensche Funktion):

 

wobei zu beachten ist, dass diese Beziehung nur gilt, wenn die Stromdichte   im Unendlichen verschwindet.

ElektrodynamikBearbeiten

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

 ,

wobei   der D’Alembert-Operator ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential

 , mit  .

EigenschaftenBearbeiten

Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt

 

Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.

Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes   darstellbar und es würde gelten:

 

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential

 

zusammengefasst.

EichungenBearbeiten

  • Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion   gilt also
 
Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.
 .
  • In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:
  Dabei ist   das skalare Potential (s. u.) und   die Lichtgeschwindigkeit.

Elektrisches VektorpotentialBearbeiten

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential  , es hat die Einheit einer Linienladungsdichte  .

Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt

        bzw.
        sowie
 .

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen   und   zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen   und   voneinander und erhält:

 

Das Wirbelfeld   nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Beziehungen zwischen Vektor- und SkalarpotentialBearbeiten

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld   als Superposition zweier Komponenten   und   aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials   ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials  :

 

Ist   ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft   dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials   entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

 

LiteraturBearbeiten