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Der d'Alembert-Operator ist ein Differentialoperator zweiter Ordnung, der auf Funktionen der -dimensionalen Raumzeit wirkt (z. B. ).

Sein Formelzeichen (gesprochen Box) ähnelt dem des Laplace-Operators

der aber deutlich verschiedene Eigenschaften hat.

Der d'Alembert-Operator ist der Differentialoperator der Wellengleichung und der Klein-Gordon-Gleichung und heißt auch Wellenoperator oder Quabla-Operator.

Die Koordinate ist die Strecke, die von der Welle in der Zeit mit der Geschwindigkeit durchlaufen wird.

Inhaltsverzeichnis

Lorentzinvarianz des d'Alembert-OperatorsBearbeiten

Die Koeffizienten der zweiten Ableitungen im Wellenoperator sind die Komponenten der (inversen) Raumzeitmetrik

 

In der ebenso verbreiteten Konvention, das Negative dieser quadratischen Form,  , als Raumzeitmetrik zu bezeichnen, steht   für das Negative des hier definierten d'Alembert-Operators.

So wie die Raumzeitmetrik   ist der d'Alembert-Operator   invariant unter Translationen und Lorentztransformationen  . Angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen   ergibt er dasselbe, wie die Lorentzverkettete abgeleitete Funktion

 

Greensche FunktionBearbeiten

Eine Greensche Funktion   des d'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung

 .

Dabei bezeichnet   die Diracsche Delta-Distribution. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt   nur von den Differenzen   sowie   ab, weshalb wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die Fouriertransformierte  

 

ergibt sich dann folgende algebraische Gleichung:

 

Die Polstellen von   liegen genau dort, wo die Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen im Vakuum ( ) erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für Antwortfunktionen typisches Resonanzverhalten ist.

Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die analytische Fortsetzung von   für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des Residuenkalküls kann man die Pole bei   „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:

Typ    
Retardiert      
Avanciert      

Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im Grenzwert   zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.

Der Faktor   entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer Kugelwelle.

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II, 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag