Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (nach ihrem Zusammenhang mit dem Coulomb-Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung genannt) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der ElektrodynamikBearbeiten

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld   und das magnetische Feld   das Skalarpotential   und das Vektorpotential   ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:

 
 .

Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-EichungBearbeiten

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

 

Wegen   und   folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-EichungBearbeiten

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man

 

und

 .

Die erste Gleichung wird gelöst durch

 ,

also ist in dieser Eichung das Skalarpotential   identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

 .

Dabei ist die retardierte Zeit   gegeben durch   . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt)   der Signale zum Ankunftspunkt   zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten in den Integralen – erstens t beim skalaren Potential, zweitens t′ beim Vektorpotential – besteht der Hauptvor- bzw. -nachteil der Coulomb-Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie die Retardierung durchgehend berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu

 

und

 ,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

LiteraturBearbeiten

  • John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4.