Vektorpotential

Das Vektorpotential ist im Bereich der Vektoranalysis ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld erzeugt.

Formal lautet die Definition eines Vektorpotentials ${\vec {A}}$ für ein festes Vektorfeld ${\vec {V}}$ mit dem Nabla-Operator ${\vec {\nabla }}$

{\vec {V}}=\mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}

Der Zusammenhang ist analog zum Skalarpotential und seinem Gradientenfeld.^[1]

Historisch war das magnetische Vektorpotential der Anlass, das Vektorpotential zu beschreiben. Es wurde eingeführt, um in der klassischen Elektrodynamik Berechnungen mit der magnetischen Flussdichte und der elektromagnetischen Induktion zu vereinfachen.^[2]

Berechnung Bearbeiten

Sei ${\vec {V}}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ein zweifach stetig differenzierbares, quellfreies Vektorfeld, das für $\lVert {\vec {x}}\rVert \to \infty$ mindestens so schnell abfällt wie ${\frac {1}{\lVert {\vec {x}}\rVert }}$ . Dann ist durch

{\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times {\vec {V}}({\vec {y}})}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\right\|}}\,d^{3}y

,

ein Vektorpotential ${\vec {A}}$ von ${\vec {V}}$ definiert^[1].

Dies ist ein Spezialfall des Helmholtz-Theorems.

Uneindeutigkeit Bearbeiten

Das Vektorpotential eines quellfreien Vektorfeldes ist nicht eindeutig definiert. Ist ${\vec {A}}$ ein Vektorpotential von ${\vec {V}}$ , so ist auch

{\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f

ein Vektorpotential von ${\vec {V}}$ für beliebige, stetig differenzierbare Skalarfelder $f$ . Dies folgt aus der Rotationsfreiheit von Gradientenfeldern. In der Physik wird diese Eigenschaft des Vektorpotentials unter dem Thema Eichtransformation behandelt.^[1]

Eigenschaften des erzeugten Feldes Bearbeiten

Wenn ein Vektorfeld durch ein Vektorpotential erzeugt werden kann, muss es ein quellfreies Vektorfeld sein.

Dies liegt daran, dass die Divergenz einer Rotation immer Null ist.

\mathrm {div} \,{\vec {V}}=\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,{\vec {A}}=0

Anwendung Bearbeiten

Das Vektorpotential wird vor allem in der Physik angewendet. Beispiele dafür sind

das Magnetische Vektorpotential und
das Elektrische Vektorpotential

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ ^a ^b ^c Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5.
↑ A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X, S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143.

[:0-1] Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5.

[2] A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X, S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143.

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[2]