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Der Nabla-Operator ist ein Symbol, das in der Vektor- und Tensoranalysis benutzt wird, um kontextabhängig einen der drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz oder Rotation zu notieren. Das Formelzeichen des Operators ist das Nabla-Symbol (auch oder , um die formale Ähnlichkeit zu üblichen vektoriellen Größen zu betonen).

Der Name „Nabla“ leitet sich ab von einem harfenähnlichen phönizischen[1] Saiteninstrument, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte. Eingeführt wurde die Schreibweise vom Mathematiker Peter Guthrie Tait (1831–1901). Im Englischen wird der Operator als „del“ bezeichnet.[2]

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren   sind:

 

Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor (zum Beispiel grad) als auch als Zeilen-Vektor (zum Beispiel div) auftreten.[3] Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch:

 

Dabei sind  ,   und   die Einheitsvektoren des Koordinatensystems. In allgemein krummlinigen Koordinaten   sind die Einheitsvektoren durch die kontravarianten Basisvektoren zu ersetzen:

 

Darin ist grad der Gradientenoperator. Bei der Anwendung dieses Nabla-Operators auf ein Vektorfeld ist zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen von den Koordinaten   abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von beispielsweise   mit einer rechts davon stehenden Funktion   als partielle Ableitung   interpretiert wird.

Darstellung anderer DifferentialoperatorenBearbeiten

Im n-dimensionalen RaumBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge,   eine differenzierbare Funktion und   ein differenzierbares Vektorfeld. Das hochgestellte bezeichnet die Transposition.

Das (formale) Produkt von   mit der Funktion   ergibt deren Gradient:

 

Das transponierte (formale) dyadische Produkt “ von   mit dem Vektorfeld   ergibt dessen Gradient oder Jacobi-Matrix:

 

Das (formale) Skalarprodukt mit dem Vektorfeld   ergibt dessen Divergenz:

 

Sie ist die Spur des Gradienten.

Das (formale) Skalarprodukt   von   mit sich selbst ergibt den Laplace-Operator  , denn es gilt

 

Bei einem gegebenen Vektor   kann mit dem Operator

 

die Richtungsableitung von differenzierbaren Funktionen   in Richtung des Vektors   berechnet werden:

 

siehe den Zusammenhang zwischen Gradient und Richtungsableitung. Ist die Funktion ein Vektorfeld  , dann berechnet sich das Produkt aus der Jacobi-Matrix des Feldes und dem Vektor:

 

siehe Vektorgradient und die Anwendung in der Kontinuumsmechanik unten.

Im dreidimensionalen RaumBearbeiten

Sei   nun eine offene Teilmenge,   eine differenzierbare Funktion und   ein differenzierbares Vektorfeld. Die Indizes ...x,y,z bezeichnen hier die Vektorkomponenten und keine Ableitungen. Im dreidimensionalen Raum   mit den kartesischen Koordinaten  ,  ,   stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld   ergibt den Gradienten des Skalarfeldes

 

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind   die Einheitsvektoren des  .

Der Nabla-Operator angewandt auf das Vektorfeld   ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

 

also ein Skalarfeld.

Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als

 

also wieder ein Vektorfeld.

Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z) und Kugelkoordinaten (r,φ,θ) sind Beispiele für krummlinige Koordinaten. Die Formeln für den Gradient in Zylinder- und Kugelkoordinaten ergeben sich aus den Nabla-Operatoren

 

Bei der Anwendung auf ein Vektorfeld ist wie oben erwähnt zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen wie auch hier von den Koordinaten abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind. Beispielsweise ergibt sich für die Divergenz eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten, wo die Basisvektoren   und   vom Winkel φ abhängen und   gilt:

 

Notation mit SubskriptBearbeiten

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion   mit   beispielsweise ist

 

im Gegensatz zu

 

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d. h. die einzeilige Jacobi-Matrix) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Gelegentlich tritt alternativ für die Schreibweise mit dem Nabla-Symbol   die Schreibweise   auf.[4]

Darstellung als QuaternionBearbeiten

Sir William Rowan Hamilton[5] definierte den Nabla-Operator als reine Quaternion

 

mit den komplex-imaginären Einheiten  ,   und  , die durch die Hamilton-Regeln   nichtkommutativ verknüpft sind. Beispielsweise gilt  .

Anwendung auf eine reellwertige Funktion   (formale Multiplikation) liefert die quaternionische Entsprechung für deren Gradient und Laplace-Ableitung:

 

Anwendung auf eine reine Quaternion   (formale Multiplikation) liefert:

 

Die hier benutzten Definitionen des Skalarprodukts und Kreuzprodukts von Quaternionen sind im Hauptartikel nachzuschlagen.

RechenregelnBearbeiten

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind   und   differenzierbare Skalarfelder (Funktionen) und   sowie   differenzierbare Vektorfelder, so gilt:

  (Kettenregel für Gradient)
  (Produktregel für Gradient)
 
 
 
  (siehe auch Laplace-Operator)
 
 
 
 
  (siehe auch vektorieller Laplace-Operator)

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradient, Divergenz und Rotation.

Anwendung in der KontinuumsmechanikBearbeiten

In der Kontinuumsmechanik wird der Nabla-Operator dazu verwendet, zusätzlich zu den oben genannten Operatoren den Gradient eines Vektorfeldes und die Divergenz sowie Rotation eines Tensorfeldes zu definieren. Hier kann der Nabla-Operator gelegentlich auch nach links wirken.[6]

Die Darstellung erfolgt wegen der Wichtigkeit der Rotation für die Kontinuumsmechanik in drei Dimensionen. Sei also   eine offene Teilmenge,   ein differenzierbares Vektorfeld mit Komponenten Vx,y,z, die wie üblich nach dem Schema x→1, y→2 und z→3 durchnummeriert werden, und   ein differenzierbares Tensorfeld zweiter Stufe mit Komponenten   bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems.

Das transponierte dyadische Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld   ergibt – wie oben dargelegt – dessen Gradient

 

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

 

Das linksseitige Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem Tensorfeld zweiter Stufe ergibt formal die Divergenz des Tensorfeldes:

 

also ein Vektorfeld.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem Tensor zweiter Stufe liefert dessen Rotation:

 

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Darin ist   das Permutationssymbol. Weitere Formeln und Definitionen beinhaltet die Formelsammlung Tensoranalysis.

Diese Operatoren sind in der Literatur nicht einheitlich definiert. Gelegentlich kommen transponierte Versionen vor:

Gradient  
Divergenz  
Rotation  

In den Formeln der Wikipedia sind dann die transponierten Tensoren einzusetzen, um sie mit den Formeln der Literatur zu vergleichen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
  • Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3-540-55530-7 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
  • Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).
  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 (siehe Abschnitt 2.3 Tensoranalysis).

WeblinksBearbeiten

  Wikibooks: Formelsammlung Physik: Nabla-Operator – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. K. E. Georges: Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch. 8. Auflage. Band 4(M-Q). Hofenberg, 1913, ISBN 978-3-8430-4923-8 (Vollständige Neuausgabe von K.-M. Guth 2014).
  2. Eric Weisstein: Del. In: MathWorld (englisch).
  3. Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie auch als kovariant beziehungsweise kontravariant bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.
  4. Jürgen Schnakenberg: Elektrodynamik. John Wiley & Sons, 2003, ISBN 3-527-40369-8, S. 31 ff., Google Books.
  5. H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Band 1 Grundwissen und Mathematik. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 978-3-540-12666-9, doi:10.1007/978-3-642-96783-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. 2. Auflage. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-43111-4.