Hauptmenü öffnen

Laplace-Operator

Divergenz des Gradienten
(Weitergeleitet von Vektorieller Laplace-Operator)

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen , den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld   die Divergenz seines Gradienten zu,

 

oder mit dem Nabla-Operator notiert

 

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise   zu finden.

Da der Divergenz-Operator   und der Gradient-Operator   unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

Im  -dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

 

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

 

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

 

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt “ wird mit dem Nabla-Operator  

 

definiert. Das Superskript   steht für Transponierung. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß   transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:

 

Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem Rotationsoperator rot

 

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.[1]

DarstellungBearbeiten

In zwei DimensionenBearbeiten

Für eine Funktion   in kartesischen Koordinaten   ergibt die Anwendung des Laplace-Operators

 

In Polarkoordinaten   ergibt sich

 

oder

 

In drei DimensionenBearbeiten

Für eine Funktion   mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten  

 

In Zylinderkoordinaten   ergibt sich

 

und in Kugelkoordinaten  

 

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

 

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „Anwendung auf Vektorfelder“.

In krummlinigen OrthogonalkoordinatenBearbeiten

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder elliptischen Koordinaten gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung

 

mit den durch

 
 
 

impliziert definierten Größen  . Dabei haben nicht die  , sondern die Größen   die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die   nicht konstant sind, sondern von  ,   und   abhängen können.

Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung.

Anwendung auf VektorfelderBearbeiten

In einem kartesischen Koordinatensystem mit  -,  - und  -Koordinaten und Basisvektoren   gilt:

 

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten  

 

und in Kugelkoordinaten  

 

Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.[2]

Beweis
In Zylinderkoordinaten   werden

 
als orthonormale Basisvektoren genommen. Ihre Ableitungen lauten:
 
Hier wie im Folgenden bedeutet ein Index nach einem Komma eine Ableitung nach der angegebenen Koordinate, beispielsweise
 
Die Anwendung des Laplace-Operators
 
auf ein Vektorfeld ergibt:
 
also die im Text angegebene Formel.

In Kugelkoordinaten können die Basisvektoren

 
verwendet werden. Diese Vektoren haben die Ableitungen
 
Anwendung des Laplace-Operators
 
auf ein Vektorfeld ergibt:
 
also dasselbe Ergebnis wie im Text angegeben.

EigenschaftenBearbeiten

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind   und   zweimal differenzierbare Funktionen und   und   Konstanten, so gilt

 

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet

 

wobei   zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit   sind und   das euklidische Standardskalarprodukt ist.[3]

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist   eine zweimal differenzierbare Funktion und   eine Drehung, so gilt

 

wobei „ “ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist  . Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

 

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss

 

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum  .[4] Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:

 

Die Eigenwertgleichung

 

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist   ein beschränktes Gebiet und   der Sobolev-Raum mit den Randwerten   in  , dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators   ein vollständiges Orthonormalsystem von   und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in   einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.[5]

Anschaulich gibt   für eine Funktion   an einem Punkt   an, wie sich der Mittelwert von   über konzentrische Kugelschalen um   mit wachsendem Kugelradius gegenüber   verändert.

Poisson- und Laplace-GleichungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die homogene Differentialgleichung

 

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

 

heißt Poisson-Gleichung.

FundamentallösungBearbeiten

Die Fundamentallösung   des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

 

mit der Delta-Distribution   auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

  mit  

Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

  mit  

VerallgemeinerungenBearbeiten

D’Alembert-OperatorBearbeiten

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d’Alembert-Operator:

 

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators   auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-OperatorBearbeiten

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator und BildverarbeitungBearbeiten

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal gn bzw. gnm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter:  
2D-Filter:  

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigt:

2D-Filter:  

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Vector Laplacian. In: MathWorld (englisch).
  2. M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 378.
  3. Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.
  4. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.
  5. Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S. 334–335.