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Eine reguläre Fläche oder differenzierbare Fläche oder kurz Fläche[1] ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Mit Hilfe dieses Begriffs wird der allgemein gebräuchliche Begriff der Fläche im mathematischen Kontext präzise definiert. Die folgende Definition bedeutet anschaulich, dass man Stücke einer Ebene verformt und diese derart, dass keine Ecken oder Kanten entstehen, zusammenheftet, so dass man an jeder Stelle des entstandenen Gebildes eine Tangentialebene anlegen kann. Im Unterschied zur topologischen Fläche kann man auf der regulären Fläche – aufgrund der Existenz einer Tangentialebene – eine Ableitung einer Abbildung erklären.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es gibt unterschiedliche, aber äquivalente Methoden, eine reguläre Fläche zu definieren. In der elementaren Differentialgeometrie wird eine reguläre Fläche durch eine Parametrisierung definiert. In der Differentialtopologie, einem abstrakteren Teilgebiet der Differentialgeometrie, sind die regulären Flächen zweidimensionale Spezialfälle n-dimensionaler differenzierbarer Mannigfaltigkeiten.

Durch ParametrisierungenBearbeiten

Eine Teilmenge   heißt reguläre Fläche, falls für jedes   eine Umgebung  , eine offene Menge   und eine Abbildung   existieren, so dass

  • die Abbildung   ein Homöomorphismus ist. Sie ist also stetig, bijektiv und hat eine stetige Umkehrfunktion.
  • die Abbildung   stetig differenzierbar ist.
  • für jeden Punkt   das Differential   vollen Rang hat, also injektiv ist.

Die Abbildung   heißt Parametrisierung. Durch die dritte Forderung ist sichergestellt, dass man an jeden Punkt der Fläche eine Tangentialebene anheften kann.

Als zweidimensionale MannigfaltigkeitBearbeiten

Alternativ kann eine reguläre Fläche auch als topologische Fläche mit einer differenzierbaren Struktur verstanden werden. Insbesondere ist eine reguläre Fläche eine zwei-dimensionale, differenzierbare Untermannigfaltigkeit.

BeispieleBearbeiten

Reguläre FlächenBearbeiten

Beispiele für reguläre Flächen sind die 2-Sphäre, der Ellipsoid, der Hyperboloid und der Torus. Der Torus und die 2-Sphäre (Kugeloberfläche) werden gleich näher diskutiert. Der Beweis, dass diese Objekte reguläre Flächen sind, lässt sich oftmals auch einfach mit dem Satz vom regulären Wert aus der Differentialgeometrie führen. Insbesondere ist jede zwei-dimensionale, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine reguläre Fläche.

Konkrete ParametrisierungenBearbeiten

Parametrisierungen spielen eine wichtige Rolle im Bezug auf Oberflächenintegrale. Lässt sich eine Fläche   durch eine differenzierbare Funktion mit   beschreiben, so erhält man mit

 

eine Parametrisierung und die Fläche ist regulär. Jedoch kann man auf diese Weise nur Flächen parametrisieren, bei welchen man keinem Paar   mehr als einen z-Wert zuordnen muss. Die zwei folgenden und oft verwendeten Beispiele lassen sich also, wenn man nur eine Parametrisierungsabbildung verwenden will, so nicht darstellen.

KugelBearbeiten

Durch die Abbildung  , welche durch

 

gegeben ist, erhält man eine Kurvenparametrisierung der Kreislinie eines Halbkreises in der rechten Halbebene mit Radius   und Mittelpunkt Null, wie die Gleichung   zeigt.

Mit Hilfe dieser Kurvenparametrisierung erhält man die Parametrisierung einer Kugel, welche durch die Funktion   mit

 

beschrieben wird. Dass die aus der Definition geforderten Eigenschaften für   gelten, ist unter Kugelkoordinaten nachzulesen. Jedoch muss man beachten, dass diese Parametrisierung die Punkte   und   "vergisst". Es ist nicht möglich, eine komplette Kugel mit einer globalen Parametrisierung zu beschreiben. Dafür werden mindestens zwei Abbildungen benötigt.

Anschaulich erhält man diese Parametrisierung, indem man an einem beliebigen Punkt auf der Kugel startet und sie auf einem Halbkreis umläuft und bei jedem Punkt, den man erreicht, umläuft man die Kugel einmal komplett in der dazu senkrechten Richtung. Außerdem kann man auch hier die Gleichheit   zeigen.

TorusBearbeiten

 
Torus

Sei  . Die Parametrisierung   der Kreislinie eines Kreises mit Radius   und Mittelpunkt   lautet ähnlich wie oben

 

Mit Hilfe dieser Kurvenparametrisierung erhält die Parametrisierung   eines Torus, welche durch

 

beschrieben werden kann. Anschaulich bedeutet dies, dass ein Torus entsteht, wenn man einen Kreis mit Zentrum   nimmt und diesen um die  -Achse um den Nullpunkt dreht.

Graphen differenzierbarer FunktionenBearbeiten

Wie in den Beispielen schon angesprochen ist der Graph einer differenzierbaren Funktion stets eine reguläre Fläche. Der Graph der Funktion

 

wird parametrisiert durch die Abbildung

 

Dass die Umkehrung nicht gilt, sieht man am Beispiel der Kugelschale. Jedoch gibt es lokal eine Umkehrung der Aussage. Sei   eine reguläre Fläche und   ein Punkt. Dann existiert eine Umgebung   von p, so dass   der Graph einer differenzierbaren Funktion ist, welche die Form   hat.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Volkmar Wünsch: Differentialgeometrie. Kurven und Flächen. B. G. Teuber Verlagsgesellschaft, Stuttgart / Leipzig 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 102.