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Funktionsgraph

Menge aller geordneten Paare (x,f(x))
Graph der Funktion
Graph der Funktion

Als Funktionsgraph oder kurz Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf) einer Funktion bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare aus den Elementen der Definitionsmenge und den zugehörigen Funktionswerten .

Mitunter können diese Paare als Punkte in der Zeichenebene oder im Anschauungsraum interpretiert werden, sie werden auch Kurve, Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt.

DefinitionBearbeiten

Der Graph einer Funktion   mit Definitionsmenge   und Zielmenge   ist die Menge[1]

 .

Der Graph ist somit eine spezielle Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge. Er besteht aus allen Paaren, bei denen die erste Komponente ein Element der Definitionsmenge und die zweite Komponente das diesem Element durch die Funktion zugeordnete Element der Zielmenge ist.

Spezialfälle und BeispieleBearbeiten

Der Graph einer Funktion   mit   ist eine Teilmenge von   und kann somit als Punktmenge bzw. geometrische Figur in der Ebene aufgefasst werden. Beispiele sind:

  • Der Graph einer linearen Funktion   ist eine Gerade.
  • Der Graph einer quadratischen Funktion   mit   ist eine Parabel.
  • Der Graph der Kehrwertfunktion   ist eine Hyperbel.

Die Graphen von Funktionen   oder   sind Teilmengen von   und können als räumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden. Beispiele sind:

  • Der Graph einer stetigen Funktion   ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion   ein elliptisches Paraboloid.
  • Der Graph einer stetigen Funktion   ist eine Kurve im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion   eine Schraubenlinie.

Verwendung in der MathematikBearbeiten

In mengentheoretischen Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt, der Graph wäre nichts anderes als die Funktion selbst, also  . Auf diese Kuriosität wies bereits 1960 Jean Dieudonné hin:[2]

It is customary, in the language, to talk of a mapping and a functional graph as if they were two kinds of objects in one-to-one correspondence, and to speak therefore of “the graph of a mapping”, but this is a mere psychological distinction (corresponding to whether one looks on F either “geometrically” or “analytically”).

Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgeführt (etwa würde   dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fällen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht über den Graphen der Funktion. Neben der Möglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, seien hier als weitere Beispiele genannt:

Graphen im Sinne der graphischen DarstellungBearbeiten

Die graphische Darstellung ist kein mathematisches Objekt. Sie dient im Rahmen der Mathematik der Veranschauung und lässt Mutmaßungen über die Eigenschaften einer Funktion zu.

Graphen unstetiger Funktionen, DefinitionslückenBearbeiten

In der Darstellung der Graphen von unstetigen Funktionen oder von Funktionen mit Definitionslücken wird häufig durch   angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehört, und durch  , dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der Vorzeichenfunktion (auch „Signumfunktion“).

BeispieleBearbeiten

Drei Beispiele für Funktionsgraphen:

Funktion Graph Anmerkung
    Der Funktionswert der Vorzeichenfunktion an der Stelle 0 ist 0.
    Da der Definitionsbereich die Menge   ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten  ,   und  .
    Für   ist die Kehrwertfunktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der x-Koordinate 0.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Schichl & Steinbauer 2012, S. 160.
  2. Dieudonné 1960, S. 5; Hischer 2016, S. 146, S. 237
  3. J. J. Buckley, Graphs of Measurable Functions (PDF; 304 kB), Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 44, Number 1, Mai 1974

LiteraturBearbeiten

  • Dieudonné, Jean Alexandre: Foundations of Modern Mathematics. New York/London: Academic Press 1960.
  • Hischer, Horst: Mathematik - Medien - Bildung. Wiesbaden: Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-658-14166-0.
  • Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Berlin/Heidelberg: Springer 2012, 2. Auflage, ISBN 978-3-642-28645-2.