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Elliptisches Paraboloid
Hyperbolisches Paraboloid

Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen entweder durch eine Gleichung

  • elliptisches Paraboloid, oder
  • hyperbolisches Paraboloid,

beschrieben.

Elliptische Paraboloide begegnen einem als Oberflächen von Satellitenschüsseln.
Hyperbolische Paraboloide sind Sattelflächen. Sie enthalten Geraden und werden deswegen von Architekten als leicht modellierbare Dachformen (hyperbolische Paraboloidschalen) verwendet.

Anhand der Gleichungen erkennt man, dass beide Flächen viele Parabeln enthalten, was zur Namensgebung beigetragen hat:

kann man sich durch Rotation der Parabel in der x-z-Ebene mit der Gleichung um die z-Achse entstanden denken.
ist keine Rotationsfläche. Aber auch bei ist bis auf zwei Ausnahmen jeder Schnitt mit einer Ebene durch die z-Achse eine Parabel. Z. B. ist der Schnitt mit der Ebene (y-z-Ebene) die Parabel .
Beide Flächen (elliptisch oder hyperbolisch) lassen sich als Schiebflächen auffassen und lassen sich durch verschieben einer Parabel entlang einer zweiten Parabel erzeugen.

Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

  • besitzt als Höhenschnitte () Kreise. (Im allgemeinen Fall sind es Ellipsen (s. u.), was sich im Namenszusatz widerspiegelt),
  • besitzt als Höhenschnitte Hyperbeln oder Geraden (für ), was den Zusatz hyperbolisch rechtfertigt.

Man sollte ein hyperbolisches Paraboloid nicht mit einem Hyperboloid verwechseln.

Eigenschaften von P1Bearbeiten

 
Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen

Tangentialebenen an P1Bearbeiten

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt   an den Graphen einer differenzierbaren Funktion   hat die Gleichung

 .

Für   ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt  

 .

Ebene Schnitte von P1Bearbeiten

Das elliptische Paraboloid   ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel   um die  -Achse. Ein ebener Schnitt von   ist:

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur  -Achse) ist.
  • eine Ellipse oder ein Punkt oder leer, falls die Ebene nicht senkrecht ist. Eine horizontale Ebene schneidet   in einem Kreis.
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist.

Affine Bilder von P1Bearbeiten

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von  . Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

 .

  besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls   gilt. Dass ein beliebiges elliptisches Paraboloid auch immer Kreise enthält wird in Kreisschnittebene gezeigt.

  ist

  • symmetrisch zu den  - bzw.  -Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur  -Achse, d. h.   lässt   invariant.
  • rotationssymmetrisch, falls   ist.
 
Rotierendes Wasserglas

Bemerkung:

  1. Ein Rotationsparaboloid (d. h.  ) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
  2. Wenn man ein mit Wasser gefülltes Glas mit konstanter Drehgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse rotieren lässt, dreht sich das Wasser nach einer Weile mit dem Glas mit. Seine Oberfläche bildet dann ein Rotationsparaboloid.
  3. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.
  4. Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent (s. projektive Quadrik).

Eigenschaften von P2Bearbeiten

 
hyperbolisches Paraboloid: Parabeln, Geraden
 
hyperbolisches Paraboloid: Geraden

Tangentialebenen an P2Bearbeiten

Für   ist die Gleichung der Tangentialebene (s. o.) im Punkt  

 .

Ebene Schnitte von P2Bearbeiten

  ist (im Gegensatz zu  ) keine Rotationsfläche. Aber wie bei   sind bei   auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit   ist

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur  -Achse) ist und eine Gleichung   hat.
  • eine Gerade, falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung   hat.
  • ein sich schneidendes Geradenpaar, falls die Ebene eine Tangentialebene ist (s. Bild).
  • eine Hyperbel, falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (s. Bild).

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur  - oder  -Ebene sind alle kongruent zur Normparabel  .
  2.   ist eine Schiebfläche.   entsteht durch Verschiebung der Parabel   mit ihrem Scheitel entlang der Parabel  .
  3. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
  4. Da die Fläche   Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
  5.   ist ein Konoid.
  6. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar (wie Zylinder und Kegel), da die Gaußkrümmung in jedem Punkt nicht   ist. Die Gaußkrümmung ist überall  . (Bei einer Kugel ist die Gaußkrümmung überall  .) Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
  7. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die  -Achse um 45 Grad geht die Gleichung   in die einfachere Gleichung   über.
 
hyperbolisches Paraboloid mit Hyperbeln als Höhenschnitte

Affine Bilder von P2Bearbeiten

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von  . Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

 .

  ist

  • symmetrisch zu den  - bzw.  -Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur  -Achse, d. h.   lässt   invariant.

Bemerkung:

  1. Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (s. Bild), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.
  2. Ein hyperbolisches Paraboloid ist projektiv zum einschaligen Hyperboloid äquivalent.

Hyperbolisches Paraboloid als Interpolationsfläche von 4 PunktenBearbeiten

 
hyperbolisches Paraboloid als Interpolationsfläche von 4 Punkten

Ein hyperbolisches Paraboloid lässt sich auch als bilineare Interpolationsfläche von vier nicht in einer Ebene liegenden Punkten   auffassen[1]:

  •  
 .

Das Netz der Parameterlinien besteht aus Geraden.

Für das im Bild dargestellte Beispiel ist  . Das dadurch beschriebene hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung  .

Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen ParaboloidenBearbeiten

 
ellipt. Paraboloid, parabol. Zylinder (Grenzfläche), hyperbol. Paraboloid

Lässt man in den Gleichungen

  (Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

  (Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den Parameter   gegen   laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche

 .

Dies ist die Gleichung eines Zylinders mit einer Parabel als Querschnitt (parabolischer Zylinder), s. Bild.

 
Stapelchips ähneln in ihrer Form einem hyperbolischen Paraboloid, um die Stabilität zu erhöhen.
 
Bahnhof von Warszawa Ochota, Beispiel eines hyperbolischen Paraboloids als Dach

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  1. G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250

WeblinksBearbeiten

  Commons: Paraboloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien